El Plano Inclinado y la Fricción en la Ingeniería Geotécnica – Quinta Parte

Por: Santiago Osorio R.

… Viene de la Cuarta Parte

Contenido de la Quinta Parte

• La Fricción de Coulomb (c. 1779-1781)

La Fricción de Coulomb (c. 1779-1781)

Charles-Augustin de Coulomb realizó experimentos fundamentales para establecer la ley de fricción seca entre 1779-1781. Presentó en 1780 un tratado, titulado “Théorie des machines simples en ayant égard au frottement de leurs parties et à la roideur des cordages” (Teoría de las maquinas simples teniendo en cuenta el rozamiento de las piezas y la rigidez de las cuerdas)”. Este trabajo fue galardonado con el primer premio de la Academia de Ciencias en la primavera de 1781 y se publicó en 1782.

Los experimentos se llevaron a cabo para diferentes materiales, diferentes cargas de contacto y diferentes tamaños del cuerpo de prueba. En cada experimento, se registró la relación entre la carga de contacto y la fuerza de fricción (el coeficiente inverso del coeficiente, que ahora se denomina coeficiente de fricción seca). Para determinar que la fuerza de fricción no depende de la velocidad, aplicó una fuerza a la corredera cargada que se encontraba sobre la mesa a lo largo del eje de su simetría. Como resultado, el trineo comenzó a moverse. Con la ayuda de una regla y un cronómetro, estableció que el movimiento se aceleró uniformemente. Esto significaba: la fuerza de fricción no depende de la velocidad, de lo contrario, el movimiento no podría acelerarse uniformemente. Conociendo la aceleración, es fácil calcular tanto la fuerza horizontal aplicada como la fuerza de fricción (Figura 41).

Coulomb construyó varios dispositivos y realizó muchos experimentos para estudiar, de manera precisa, los siguientes cinco parámetros (sobre la fricción de deslizamiento y, en algunos casos, sobre la fricción de rodadura), a saber:

1. Naturaleza de los materiales.
2. Efectos de un lubricante.
3. Extensión del área de contacto.
4. Carga normal aplicada.
5. Tiempo de descanso, durante el cual las superficies permanecen en contacto directo, antes del experimento.

También estudió el efecto de la temperatura, humedad, velocidad de deslizamiento y diferencia entre fricción estática y dinámica. Determinó los valores estáticos y dinámicos del coeficiente de rozamiento, que siguen siendo válidos en la actualidad. También demostró que la fricción depende tanto de la adherencia como de la deformación de las superficies. Confirmó las dos leyes de Amontons y demostró que el coeficiente de fricción es en muchos casos independiente de la velocidad de deslizamiento. Esta tercera ley, que se le atribuye, se aplicó erróneamente a la fricción lubricada, mientras que Coulomb seguramente conocía sus límites.

Figura 41. Dispositivos de Coulomb para sus experimentos sobre la fricción

Coulomb se interesó primero en el sólido en traslación que no podía rodar ni inclinarse sobre un soporte guía. Luego estudió situaciones más complejas de sólidos rodantes. El estudio de los sólidos en traslación sobre una guía fija tiene la ventaja de marcar una clara frontera entre el deslizamiento y el no deslizamiento. En efecto, el antideslizante sobre un soporte fijo corresponde a una situación estática en la que el sólido está inmóvil. El deslizamiento corresponde a una situación dinámica de traducción.

La fricción estática observada por Coulomb, también se denomina fuerza de adherencia. Cuando hay deslizamiento (desplazamiento relativo) entre dos cuerpos en contacto, se llama velocidad de deslizamiento de un cuerpo a su velocidad en el marco de referencia formado por el otro cuerpo (limitado a un movimiento de traslación). En este caso, la fuerza de fricción actúa en el mismo sentido y en dirección opuesta a la velocidad de deslizamiento. Es independiente de la norma de velocidad de deslizamiento y varía proporcionalmente a la fuerza normal. Es común agregar una simplificación adicional al suponer que los coeficientes de fricción estática y dinámica son iguales cuando se alude a la fricción.

La fuerza de fricción estática permite que los objetos permanezcan en reposo cuando la superficie de apoyo se inclina desde la horizontal. Se considera entonces un bloque colocado sin velocidad inicial sobre un plano inclinado.

A pesar de que Coulomb no tiene una formulación tan clara y compacta de la ley de fricción seca como la de Euler, no se puede subestimar su contribución al desarrollo de esta ley. Euler y Coulomb son los fundadores de pleno derecho de la ciencia de la fricción. Al mismo tiempo, Euler dio la dirección del enfoque matemático al problema, y ​​Coulomb, el físico.

Fue Coulomb (1736-1806) quien organizó sistemáticamente su investigación, consideró todas esas conjeturas dentro de un enfoque sintético y logró reunirlas. En 1781 publicó su trabajo sobre máquinas simples, fricción y otros temas relacionados en Théorie des machines simples, que le valió el premio de la Academia. Investigó tanto la fricción estática como la deslizante, la fricción al doblar las cuerdas y al rodar. Estaba comprometido con un tipo de experimentación único, inquisitivo y de amplio alcance, que le permitió desarrollar una serie de ecuaciones de dos términos:

1. Un término constante generalmente atribuido a la cohesión (cohérence o coherencia) o una película superficial (duvet o edredón o cobertor) y,
2. Un término variable que podría ser tiempo, fuerza normal, velocidad u otros parámetros.

Coulomb reconoció que la mayoría de las superficies con las que habían trabajado Amontons, sus contemporáneos y en parte él mismo no eran lisas. Por el contrario, eran más bien toscas, con asperezas visibles incluso a simple vista. Cuando dos de estas superficies se colocan juntas, una contra la otra, parece como si la aspereza de una se mezclara con la aspereza de la otra; de alguna manera, se entrelazan entre sí. Coulomb (1781), en Théorie des machines simples hizo algunos dibujos para ilustrar sus ideas sobre el entrelazamiento de la rugosidad de la superficie (Figura 42). Se podría decir que este entrelazamiento se asemeja a las cerdas entrelazadas de dos cepillos que se colocan uno contra el otro. Posiblemente, una analogía mejor para la rugosidad entrelazada de dos superficies podría ser dos piezas de un rompecabezas que encajan una vez que se ponen en contacto. La pregunta que surge ahora es si esta “teoría de la rugosidad de la superficie” de la fricción puede realmente proporcionar una explicación adecuada para el fenómeno de la fricción por deslizamiento.

Figura 42. Modelo de fricción de Coulomb debido al enclavamiento y la deformación de la rugosidad en superficies opuestas. Las fibras de las superficies de madera se penetran entre sí, como las cerdas de un cepillo. Cuando uno intenta deslizar los dos objetos uno junto al otro, las fibras se deformarán y doblarán entre sí hasta que se separen y se deslicen

Una de las contribuciones importantes de Coulomb es su postulado de que el contacto sólo ocurre en los puntos discretos de contactos de asperezas. No obstante, él rechazó la teoría de adhesión y razonó que, si la adhesión existía, la resistencia por fricción debería duplicarse si el área de contacto lo hacía. En consecuencia, creía que la resistencia es debida al trabajo hecho en mover una superficie sobre la rugosidad de la otra. John Leslie criticó tanto la teoría de la rugosidad como la de adhesión, creyendo que la fricción se debía al trabajo hecho por deformación de la superficie debido a la rugosidad (Leslie, 1829). A pesar de que estos primeros trabajos hacían alusión al papel de la rugosidad en el mecanismo de fricción, se tardó más de un siglo de investigación en concluir que la fricción entre sólidos resulta de su interacción en las regiones donde están en contacto real y que está influenciada por la geometría de las superficies, sus propiedades elásticas, las fuerzas adhesivas en los contactos reales, y por cómo la energía es perdida cuando las superficies son deformadas durante el deslizamiento.

La fricción es generalmente dividida en tres regímenes: seca, límite o mixta, e hidrodinámica. En la fricción seca, la limpieza de las superficies es uno de los factores más importantes que influyen sobre la resistencia por fricción. Incluso una capa de una sola molécula de grasa de la atmósfera o de los dedos puede cambiar significativamente el coeficiente de fricción. La influencia de la limpieza de las superficies es mucho mayor que la de la rugosidad de las mismas. En el otro extremo, cuando las superficies están separadas por una película gruesa de lubricante, la resistencia al movimiento está determinada por el comportamiento dinámico de la película. Osborne Reynolds publicó en 1886 la base fundamental para la teoría de lubricación hidrodinámica y la resistencia por fricción (Reynolds, I. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp tower's experiments, including an experimental determination of the viscosity of olive oil, 1886). En este caso, no existe contacto sólido-sólido y la fricción es un resultado de la resistencia al corte de la película, determinada por la viscosidad del lubricante y el espesor de la película. El análisis de Reynolds fue presumiblemente inspirado por los hallazgos experimentales de Nicolai Petrov y Beuchamp. Petrov reportó en 1883 que la propiedad más importante del fluido en la lubricación hidrodinámica es la viscosidad, y no la densidad como pensó originalmente (Petrov, Friction in Machines and the Influence of a Lubricating Liquid on It, 1883). Él también concluyó que las pérdidas por fricción son el resultado de las tensiones de corte viscosas en la película. Por otro lado, los resultados experimentales publicados por Beuchamp mostraron que la capacidad portante de un cojinete parcialmente sumergido en un baño de aceite es el resultado de altas presiones desarrolladas en el huelgo entre el rotor y el cojinete, y que ese huelgo es un parámetro fundamental para lograr una película lubricante completa y, consecuentemente, reducir la fricción.

De acuerdo con la “teoría de la rugosidad superficial”, la superación de la fricción por deslizamiento podría explicarse en términos del esfuerzo que debe ejercerse en el deslizamiento de las asperezas de la superficie superior hacia arriba de las pendientes y sobre la parte superior de las asperezas de la superficie inferior. Esto significaría que la superficie superior tendría que elevarse ligeramente para permitir que sus picos se deslizaran sobre los picos de la superficie inferior. Cuanto más pesada sea la parte superior del cuerpo, mayor será el esfuerzo necesario para levantarlo de esta manera, por lo que la fricción es proporcional al peso del cuerpo (primera ley). En consecuencia, el esfuerzo para levantar la parte superior del cuerpo dependería únicamente de su peso, no de su área, por lo que la fricción es independiente del área de contacto (segunda ley).

A primera vista, esta explicación mecánica de la aspereza de la superficie parece plausible. Sin embargo, si se considera con más detenimiento, no explica qué sucede cuando la superficie del cuerpo superior se eleva sobre los picos de las asperezas de la superficie del cuerpo inferior. En ese instante, ¿comienza a moverse hacia adelante y hacia abajo por el otro lado de la pendiente por sí solo? Esto significaría que el esfuerzo ejercido anteriormente para vencer la fricción al deslizarse por las pendientes de la superficie inferior, ahora se restauraría y ayudaría de alguna manera a deslizarse por el otro lado de la pendiente. Pero, esto en realidad no sucede. La fricción, en la mayoría de los casos, se opone al movimiento, no pone las cosas en marcha ni las ayuda.

En realidad, y a través de un enfoque macroscópico, cuando dos superficies están en contacto y se intenta deslizar una sobre la otra, hay miles de asperezas recorriendo pendientes y al revés. Por supuesto, estas pendientes y asperezas no son todas idénticas y el fenómeno completo no ocurre en todas las partes de las superficies simultáneamente. Partes del cuerpo pueden estar deslizándose por pendientes rugosas, pero otras partes se deslizarán por pendientes respectivas en algún otro lugar, o en un instante posterior. En un cierto instante, una aspereza A puede deslizarse hacia arriba por una pendiente B y al mismo tiempo una aspereza C puede deslizarse hacia abajo por una pendiente D (Figura 43). En consecuencia, la superficie de la parte superior del cuerpo, en general, no subiría ni bajaría. Por lo tanto, esta explicación del fenómeno de la fricción por deslizamiento, aunque es una aproximación plausible, no parece ser adecuada en general.

Figura 43. Comportamiento macroscópico de las asperezas durante el fenómeno de fricción seca

Se podría refutar el argumento de que el esfuerzo se está agotando de manera similar cuando las asperezas de una superficie llegan al borde superior de las pendientes de la otra superficie y, en consecuencia, comienzan a deslizarse hacia abajo con un estallido, doblando estas partes de las superficies. Así, todo el esfuerzo supuestamente restablecido al deslizarse por las laderas, en realidad se gasta en términos de trabajo de deformación durante el impacto en otras partes de las superficies. Si se adopta tal punto de vista, se aleja del “modelo de arrastre hacia arriba de la rugosidad” y se acerca a un mecanismo de deformación, que está involucrado en la fricción por deslizamiento.

Esto podría describirse como un mecanismo de deformación plástica, que ocurre en las regiones de contacto real donde se forman las uniones de fricción, pero también de deformación elástica, que ocurre en las regiones circundantes, que se liberan cuando se retira la carga. Como resultado, las uniones de fricción se rompen y pequeñas piezas de las superficies se cortan y/o se sueldan en una de las superficies (Bowden & Tabor, Friction: An Introduction to Tribology, 1973, p. 65). Trabajos y experimentos relativamente recientes sobre la fricción han demostrado que el área real de contacto entre dos superficies depende no solo de la geometría de estas superficies (como lo consideraban la mayoría de los científicos de la Academia Francesa), sino también de la forma en que el individuo las asperezas se deforman (Bowden & Tabor, Friction: An Introduction to Tribology, 1973, p. 23).

Por otro lado, si se aceptara una “teoría de la cohesión de la fricción”, significaría, en consecuencia, que las superficies más grandes crearían más fricción, debido a una mayor cohesión en los puntos de contacto de una interfaz más grande. Así, el rozamiento por deslizamiento dependería del tamaño de la superficie de los cuerpos que están en contacto. Esto significaría que la fricción se duplicaría si se duplicaran las regiones de contacto o, en otras palabras, si se duplicara el área de contacto. Este no parece ser el caso con la fricción por deslizamiento de las superficies rugosas (Bowden & Tabor, Friction: An Introduction to Tribology, 1973).

Coulomb se enteró del trabajo de Amontons, y se interesó tanto en esta física de la vida cotidiana, que comenzó a hacer mediciones él mismo. Su investigación no solo estaba interesada en los coeficientes de fricción, sino también en la dependencia del tiempo de la fuerza de fricción estática con el tiempo de reposo. Encontró un aumento de la fuerza de fricción con el tiempo de reposo, y trató de encontrar una descripción matemática. Publicó sus principales resultados en un Essai sur la theorie du frotement, a saber, las leyes de fricción, a menudo denominadas leyes de fricción de Coulomb:

1. Para el deslizamiento de madera sobre madera en condiciones secas, la fricción aumenta inicialmente pero pronto alcanza un máximo. A partir de entonces, la fuerza de fricción es esencialmente proporcional a la carga.
2. Para el deslizamiento de madera sobre madera, la fuerza de fricción es esencialmente proporcional a la carga a cualquier velocidad, pero la fricción cinética es mucho menor que la fricción estática para largos períodos de reposo.
3. Para metales que se deslizan sobre metales sin lubricante, la fuerza de fricción es esencialmente proporcional a la carga y no hay diferencia entre fricción estática y cinética.
4. Para metales sobre madera en condiciones secas, la fricción estática aumenta muy lentamente con el tiempo de reposo y puede tardar cuatro, cinco o incluso más días en alcanzar su límite. Con metal sobre metal se alcanza el límite casi inmediatamente y con madera sobre madera se tarda sólo uno o dos minutos. Para madera sobre madera o metal sobre metal en condiciones secas, la velocidad tiene muy poco efecto sobre la fricción cinética, pero en el caso de madera sobre metal, la fricción cinética aumenta con la velocidad.

La segunda parte de la cuarta ley, que describe la independencia de la velocidad de la fricción cinética, se conoce hoy en día como la Ley de Coulomb.

Coulomb criticó el descuido de los mecanismos de deformación en trabajos anteriores. Al comienzo de sus memorias (1781), señaló los cinco parámetros más importantes en la fricción estática y dinámica (deslizante):

• La naturaleza de los materiales y sus revestimientos superficiales,
• La extensión de la superficie,
• La fuerza normal,
• El tiempo que las superficies permanecen en contacto antes de que comience el movimiento (tiempo de reposo) y,
• La velocidad relativa de las superficies de contacto.

Aunque Coulomb atribuyó algún papel a la cohesión en los fenómenos de fricción, difícilmente podía creer que pudiera ser la causa principal. Parecía creer que la fricción se debía al trabajo realizado al arrastrar una superficie sobre la rugosidad de la otra (Bowden & Tabor, Friction: An Introduction to Tribology, 1973, p. 18). Por lo tanto, aunque consideró varios aspectos de los fenómenos de fricción, parece que se mantuvo dentro del marco de la “teoría de la rugosidad de la superficie” de la fricción.

Coulomb y sus contemporáneos del siglo XVIII no consideraron la pérdida de energía cuando se refirieron al mecanismo de fricción. Se sabía, y a menudo se afirmaba, que la fricción generaba calor o pérdida de movimiento, pero nadie los introdujo realmente en una teoría (Gillmor, Coulomb and the Evolution of Physics and Engineering in Eighteenth-Century France, 1971, p. 137) (ver la la Serie 'DU PLAN INCLINÉ À LA THÉORIE DU COIN DES TERRES'). John Leslie (1766-1832), en un estudio de la naturaleza del calor (1804), primero investigó estos problemas e introdujo la idea de una onda de deformación que era producida por las superficies en interacción y viajaba por delante de las áreas de contacto en la dirección de propagación. Afirmó que el proceso resultante era responsable de la generación de calor. Hoy esto se considera en términos de deformación plástica y pérdida por histéresis.

En conclusión, la “teoría de la rugosidad de la superficie” de la fricción recibe, al menos hasta determinado punto, cierto apoyo de la experiencia y la intuición cotidianas. Parece plausible que las superficies rugosas tengan más fricción que las superficies lisas. Pero, como señaló Desaguliers, ‘nuestra intuición podría ser engañosa’, como por ejemplo en el caso de metales pulidos en contacto donde la fricción puede aumentar mucho. De hecho, la cohesión puede jugar un papel importante en la fricción por deslizamiento de las superficies metálicas, particularmente si están bastante limpias cuando entran en contacto (Bowden & Tabor, Friction: An Introduction to Tribology, 1973, p. 23). Además, las superficies muy lisas, como la mica partida, que es lisa dentro de un diámetro atómico, dan una fricción al menos tan grande como la de las superficies ordinarias.

El estudio de la fricción de Coulomb, que tomaba en cuenta las fuerzas de cohesión concluyendo que este efecto aportaba muy poco al total, se ha considerado el más influyente. Citó en él algunos autores, entre ellos a Amontons y Desaguliers, pero no mencionó los estudios analíticos previos, como fueron las dos memorias de Antoine Parent, a principios de siglo, sobre las condiciones de equilibrio en un plano inclinado, otras dos remitidas por Euler en 1748 a la Academia de Ciencias de Berlín, y el trabajo de Jorge Juan Santacicilia en España, que a diferencia del de la percusión parece haber pasado del todo desapercibido a los historiadores del tema.

El alcance de sus investigaciones fue amplio. Sus experimentos cubrieron campos como la fricción de superficies lubricadas y no lubricadas, la fricción en condiciones estáticas y cinéticas, la fricción a velocidades variables y el efecto de los materiales, las áreas de contacto y el acabado superficial. La primera serie de experimentos de Coulomb se llevó a cabo en los astilleros navales de Rochefort. Se usó como superficie una mesa rígida sobre la que se fijaron tablas de roble con un buen acabado, mientras que otras superficies tenían la forma de pequeños trineos móviles que podían soportar cargas de varias intensidades (Figura 40). Durante estas pruebas, Coulomb consideró muchos parámetros en varios rangos. La presión varió de 0 a 300 atm, la velocidad de 0 a 4,9 mps; también investigó el efecto de los períodos de descanso que varían de 0,5 segundos a 4 días con diferentes zonas de contacto. En consecuencia, propuso una fórmula empírica para la fuerza de fricción en función del período de reposo. La representación que ahora se usa con frecuencia de superficies que consisten en picos y valles en realidad se debe a Coulomb (Figura 42). Consideró que las fibras que cubrían las superficies de madera se entrelazaban como las cerdas de dos cepillos. Por lo tanto, para el estudio de las fuerzas requeridas para mover una superficie sobre la otra, es necesario investigar la posición instantánea de la cerda en el momento del deslizamiento. También introdujo el concepto de deformaciones superficiales localizadas que disminuirían con el grado de lubricación; este último, en la mayoría de sus experimentos, fue de naturaleza límite.

De particular interés en el estudio de la fricción son las exploraciones teóricas de Coulomb en el campo de la fricción seca en las que afirma que la fricción del trineo se compone de dos partes, una que depende del agarre y la otra de cierta parte de la presión normal. Para el caso de un cuerpo sólido que se desliza lenta y uniformemente sobre una superficie inclinada, como se muestra en el croquis de la Figura 44, Coulomb expresó el valor de la fuerza de fricción T de la siguiente manera:

donde μ es el recíproco del coeficiente de fricción f, P el peso y A un parámetro de adherencia.

Para el caso de que el cuerpo se mueva en dirección horizontal, es decir, cuando n = m = 0, la expresión anterior se reduce a

Figura 44. Análisis de equilibrio de plano inclinado utilizado por Coulomb

Esta relación de la fuerza de fricción demuestra claramente que no es una función única de presión o carga normal y que puede representarse matemáticamente por más de un término. Esta observación fue muy importante ya que Coulomb fue el primero en utilizar una expresión matemática de dos términos para la fuerza de fricción en el régimen seco. El primer término, una constante, denominada adherencia (grippage en inglés o adhérence en francés), era de carácter descriptivo (aún se desconocían los conceptos de adsorción e interacción molecular), mientras que el segundo término, variable, era proporcional a la carga normal. Un estudio más detallado de los artículos de Coulomb muestra que, para algunos casos particulares, el primer término también era una cierta función de la presión normal (Figura 45). La expresión de dos términos de Coulomb para la fuerza de fricción se olvidó por completo y solo recientemente se indicó y se extendió a la elucidación de la naturaleza de la fricción seca y límite.

Figura 45. Imagen de la expresión de la fricción estática de Coulomb en “Théorie des machines simples”

El trabajo de Euler, en la línea de otro anterior de Bernard Forrest de Bélidor en 1737, se enmarca dentro de la idea de considerar rugosa la superficie de los cuerpos y otorgar a esta rugosidad una determinada geometría. En el caso de Bélidor se trataba de dos conjuntos de esferas rígidas que se hacían deslizar uno sobre el otro, en el de Euler las irregularidades eran

triangulares, y por tanto constituían planos inclinados que el cuerpo en movimiento respecto de la base debía remontar. La inclinación de estos planos se deducía de los resultados experimentales. En el caso de Amontons, confirmado por otros, el coeficiente de rozamiento era de 1/3, así que, siendo el seno del ángulo de inclinación igual a 1/3, dicho ángulo sería de 19º29’. O de 14º28’, según los resultados de Georg Bernhard Bilfinger, quien obtuvo el valor de ¼ (ver El Plano Inclinado y la Fricción en la Ingeniería Geotécnica – Cuarta Parte).

Las leyes empíricas de la fricción, a veces denominadas leyes de Coulomb, no son leyes universales como las leyes de la mecánica de Newton, sino que son un modelo para la fricción sólida, que se puede aplicar, al menos aproximadamente, a la mayoría de las situaciones comunes, por ejemplo, en máquinas.

Las fricciones son fenómenos que modifican el comportamiento del sistema, y ​​en particular las condiciones de su equilibrio. Las leyes de Coulomb permiten modelar estas fricciones. Los ensayos de Coulomb se utilizaron como documentos de referencia durante 150 años y se utilizan ampliamente incluso hoy en día. Los anglosajones lo consideran como uno de los más grandes tribólogos de todos los tiempos, pues Coulomb también fue pionero en el estudio de la fricción causada por la rotación y el balanceo. Estas investigaciones impulsaron la construcción de instrumentos de precisión, particularmente de la brújula. Los experimentos realizados para el diseño de pequeños cojinetes de empuje se realizaron cuidadosamente en vacío; el par de fricción se midió en función del decremento de vibración impuesto. Coulomb proporciona los resultados para materiales como ágata, cuarzo, vidrio y acero con diferentes cargas y formas variables de conos de pivote.

Las contribuciones de Coulomb en el campo de la fricción son únicas. Sus datos experimentales fueron invaluables ya que proporcionaron información que no estaba disponible antes. El progreso en campos como la arquitectura naval, con la construcción de máquinas y la cartografía, fue posible solo gracias a su capacidad de investigación e inusual para la experimentación fina. No se añadió mucho de naturaleza teórica durante mucho tiempo después de las principales investigaciones fundamentales de la fricción por parte de la primera escuela.

Continúa en la sexta parte …

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