La Estática de las Siete Máquinas Simples
Por: Santiago Osorio R.
Apéndice C de la serie 'DU PLAN INCLINÉ À LA THÉORIE DU COIN DES TERRES' (Del plano inclinado a la teoría de la cuña de suelo),
una visión detallada del aporte de Charles Augustin Coulomb a la consolidación de la
teoría clásica de la mecánica de suelos. Complemento a la 3a entrada -
Mézières, département des Ardennes - France 11 février 1760. Junio 29 de
2020.
La Estática es teoría de la quietud de un cuerpo (Figura 1), mientras la Dinámica es la teoría del movimiento. La causa que estos fenómenos de la Mecánica en el cuerpo se llama fuerza y aunque parece que este nombre pertenece solo a la causa del movimiento, los hechos nos hacen conocer que el reposo proviene de contener unas fuerzas los efectos de otras que cooperan a un mismo tiempo, de modo que no resulte movimiento; en cuyo caso decimos que las fuerzas se equilibran, y que el cuerpo está en equilibrio. Esta evidente aserción envuelve el concepto de que la materia es inerte; es decir, que tiene tal disposición para el movimiento y para el reposo, que perseveraría en un estado u en otro siempre si no la hiciese variar la fuerza.
Conforme al principio de la Estática, para que un cuerpo se encuentre en
equilibrio o reposo, se requiere que la suma vectorial de todas las fuerzas
que actúan sobre él, sea nula (cero), debiendo también ser nula la suma del
momento de la fuerza (magnitud vectorial que produce rotación o giro), cuya
dirección está dada por el sentido de la fuerza. El momento de una fuerza se
mide en relación a un punto, y es el producto de la fuerza, por la distancia
que separa el punto de la recta de aplicación de la fuerza. Como las fuerzas
producen aceleraciones, la ausencia de fuerzas sobre cuerpos en reposo hace
que ellos se conserven en el mismo estado de quietud. La ausencia de
momentos asegura que los cuerpos no roten. Si un cuerpo ejerce sobre otro
una fuerza, y éste a su vez genera una reacción sobre el primero del mismo
valor, ambas fuerzas son iguales y opuestas (conforme a la Tercera Ley de
Newton). Ver Apéndice D. El equilibrio resultante puede ser estable,
inestable o indiferente.
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| Figura 1. Diagramas de cuerpo libre de algunas máquinas simples |
Máquina
Una máquina es el conjunto de elementos que se interponen entre una fuente
de energía y un trabajo mecánico que se realiza gracias a ella. Las máquinas
están formadas por mecanismos que desarrollan funciones elementales. Por lo
tanto, definiremos mecanismo como un dispositivo que transforma un
movimiento y una fuerza aplicada (llamadas magnitudes motrices o, de
entrada) en otro movimiento y fuerza resultante (denominadas magnitudes
conducidas o de salida) distintos.
Máquina Simple
Una máquina simple es un mecanismo conformado por un único elemento, un
dispositivo mecánico que cambia la dirección o la magnitud de una fuerza (en
la Figura 2 se presenta una aplicación). También puede definirse como un
instrumento ideado por el hombre para realizar un trabajo ahorrando energía
y tiempo. De acuerdo con la clasificación tradicional establecida en el
Renacimiento (c. 1300-1600), las siete máquinas simples son:
- la cuerda o máquina funicular,
- la palanca,
- la polea o garrucha,
- el torno,
- el plano inclinado,
- el tornillo o rosca y
- la cuña.
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| Figura 2. Shaduf, antiguo dispositivo de palanca para aprovisionamiento de agua |
Características de las Máquinas Simples
Las máquinas simples permiten:
- multiplicar la fuerza,
- aumentar la velocidad y
- cambiar la dirección de la fuerza.
Una máquina simple utiliza una única fuerza aplicada transformándola en una
fuerza resultante, que realiza un trabajo desplazando una sola carga (o
venciendo una fuerza resistente) (Figura 3). Si se omiten las pérdidas por
rozamiento, el trabajo realizado por la fuerza aplicada es igual al trabajo
realizado por la fuerza resultante sobre la carga. La máquina puede aumentar
la magnitud de la fuerza aplicada a lo largo de una determinada distancia
(al transformarla en la fuerza resultante), pero a costa de una disminución
proporcional en la distancia recorrida por la carga. La relación entre la
fuerza aplicada y la fuerza resultante se denomina ventaja mecánica o
rendimiento, que se define como el resultado de dividir la fuerza resultante
entre la fuerza aplicada.
En una máquina simple se cumple la ley de la conservación de la energía:
“la energía ni se crea ni se destruye, solamente se transforma”. Así, el
trabajo realizado por la fuerza aplicada (producto de ésta por la distancia
que ha actuado), será igual al trabajo resultante (fuerza resultante
multiplicada por la distancia que ha actuado). Una máquina nunca puede
producir más trabajo que el que se realiza sobre ella por lo que: el trabajo
motor = trabajo resistente. Esto se cumple si la fuerza de fricción es
despreciable.
- Trabajo Motor: Trabajo realizado por la fuerza motriz (P) aplicada a la máquina.
- Trabajo Resistente: Trabajo realizado por la fuerza resistente (R).
Las máquinas simples pueden ser consideradas como bloques de construcción
elementales a partir de los que se diseñan máquinas más complejas o
compuestas como el mecanismo de una bicicleta, donde se utilizan ruedas,
palancas y poleas. La ventaja mecánica de una máquina compuesta es el
producto de las ventajas mecánicas de las máquinas simples de las que está
compuesta.
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| Figura 3. Uso de algunas máquinas simples |
Historia
La idea de máquina simple se originó alrededor del siglo III a.C. con el
físico griego Arquímedes, que estudió la palanca, la polea y el tornillo.
Descubrió el principio de ventaja mecánica que reflejó en su famosa frase
con respecto a la palanca: “Dame un punto de apoyo, y moveré la Tierra” con
la que expresaba su comprensión de que no hay límite a la cantidad de
amplificación de la fuerza que se podría lograr mediante el uso de la
ventaja mecánica. Posteriormente, otros físicos griegos definieron las cinco
máquinas clásicas simples (sin incluir el plano inclinado) y fueron capaces
de calcular con mayor o menor propiedad su ventaja mecánica. Por ejemplo,
Herón de Alejandría (hacia 10-75 d.C.) en su obra Mecánica incluye su famosa
lista de cinco mecanismos que pueden “poner una carga en movimiento”:
palanca, torno, polea, cuña, y tornillo, describiendo su fabricación y usos.
Sin embargo, la comprensión de los griegos se limitaba a la estática de las
máquinas simples (el equilibrio de fuerzas); y no incluía la consideración
de efectos dinámicos, el equilibrio entre la fuerza y la distancia, o el
concepto de trabajo mecánico.
Durante el Renacimiento la dinámica de las potencias mecánicas, como fueron
llamadas las máquinas simples, comenzó a ser estudiada desde el punto de
vista de lo lejos que se podía izar una carga, o de la fuerza que se podía
aplicar. Esto condujo finalmente al nuevo concepto de trabajo mecánico. En
1586, el ingeniero flamenco Simon Stevin dedujo la ventaja mecánica del
plano inclinado, lo que llevó a incluirlo con las otras máquinas simples. La
teoría dinámica completa de las máquinas simples fue elaborada por el
científico italiano Galileo Galilei en 1600 en su obra Le Meccaniche (La Mecánica), en la que mostraba la similitud matemática subyacente de las
distintas máquinas. Fue el primero en comprender que las máquinas simples no
crean energía, sino que solamente la transforman.
Las reglas clásicas de la fricción por deslizamiento en las máquinas fueron
descubiertas por Leonardo da Vinci (1452-1519), pero no las incluyó en sus
cuadernos. Fueron redescubiertas por Guillaume Amontons (1699) y
desarrolladas por Charles Augustin Coulomb (1785).
La mecánica moderna ha ampliado la noción sobre las máquinas simples, que
describían de forma demasiado sucinta la gran variedad de máquinas complejas
que surgieron a partir de la Revolución Industrial. Desde el siglo XIX,
distintos autores han compilado listas ampliadas de “máquinas simples”, a
menudo utilizando términos como máquinas básicas, máquinas compuestas o
elementos de una máquina, para distinguirlas de las máquinas simples
clásicas anteriores. A finales de 1800, Franz Reuleaux había identificado
cientos de mecanismos elementales, que calificaba como máquinas
simples.
Análisis Mecánico
Aunque cada tipo de máquina simple funciona de una manera distinta desde el
punto de vista mecánico, desde el punto de vista analítico todas se rigen
por las mismas ecuaciones matemáticas. Desde el punto de vista teórico se
puede analizar su funcionamiento de dos maneras distintas: sin considerar la
fricción (máquinas ideales) y considerándola (máquinas reales). También se
analiza el funcionamiento de las máquinas compuestas, como montajes de
series de máquinas simples.
1. La Cuerda o Máquina Funicular
Es un sistema de cuerdas destinadas a comunicar las acciones de las
fuerzas, es máquina funicular; en ella los ramales o porciones de cuerdas de
que tiran las fuerzas pueden estar ligados por medio de nudos, o con anillos
por donde pasen los otros ramales, para soportar pesos o contrarrestar
muchas fuerzas. La Estática considera completamente flexible é inextensible
la cuerda, y que está reducida a la línea longitudinal que pasa por sus
puntos centrales, con objeto de prescindir de su peso y demás atenciones que
exigiría su grueso.
Si dos fuerzas aplicadas a los extremos respectivos de una cuerda o ramal
tiran de ella en sentidos contrarios, se equilibrarán en caso de ser
iguales, y en el caso contrario producirán una resultante igual a la
diferencia de ellas en el sentido de la mayor (n). En ambos casos llamase
tensión de la cuerda la menor fuerza de las dos aplicadas a los extremos
respectivos, considerando que la mayor está destinada a sujetar en posición
fija el otro extremo de la cuerda, pues fácil es concebir que esta padecerá
tal tirantez o tensión, cual sea capaz de causar la menor de las fuerzas
(Figura 4).
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| Figura 4. Análisis estático de la cuerda |
Historia
La cuerda también conocida como soga o maroma fue empleada para la caza, el
empuje, estirado, atado, la suspensión y ascensión a cimas de montañas data
desde la época prehistórica y siempre ha sido esencial en las actividades
humanas básicas, así como en el progreso de la humanidad. Las primeras
cuerdas eran tan largas como podrían haber sido las fibras de una planta, su
intento de alargarlas dio lugar a las primeras cuerdas retorcidas. Los
fragmentos cuasi-fosilizadas de lo que probablemente es una “cuerda
enrollada de casi 65 mm de diámetro” que fue encontrada en la cueva de
Lascaux, data de aproximadamente unos 17.000 años.
Los antiguos egipcios fueron probablemente la primera civilización que
desarrolló una herramienta especial para hacer cuerdas, reportándose cuerdas
que datan del 4000 al 3500 a.C. elaboradas principalmente de juncos. Otras
cuerdas elaboradas en la antigüedad se hicieron de otras fibras como la
palmera real, lino, hierbas, papiro, seda o incluso pelo animal. El empleo
de estas cuerdas empujó a cientos de trabajadores de otras tierras a ser
esclavizados por los egipcios con el objeto de mover grandes piedras y
construir sus monumentos. Comenzando aproximadamente desde el 2800 a.C., las
cuerdas se hicieron de fibras en China. La elaboración de cuerdas se
expandió por toda Asia, India y Europa durante casi varios siglos (Figura
5).
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| Figura 5. Arreglo de cuerdas o máquina funicular o maroma, nudos y máquina para fabricar cuerdas |
Leonardo da Vinci dibujó ciertos esbozos de un concepto para una máquina
que hacía cuerdas, fue una de sus muchas invenciones que nunca llegó a
construir. Sin embargo, su construcción no podía ser llevada a cabo sin el
desarrollo de una tecnología avanzada. En 1586, el arquitecto suizo Domenico
Fontana erigió un obelisco de 327 toneladas en la Plaza de San Pedro de Roma
con una fuerza concertada de 900 hombres, 75 caballos y una cantidad ingente
de cuerdas (Figura 6). No fue hasta pasado el siglo XVIII cuando diversos
inventos hicieron posible la invención de una máquina capaz de construir
cuerda. En la década de 1950 las fibras sintéticas como el nylon se fueron
popularizando, reemplazando en proporción considerable a las
naturales.
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| Figura 6. Traslado del obelisco a la Plaza de San Pedro (Vaticano, Roma) en 1586 |
2. La Palanca
Es una barra rígida con un punto de apoyo, llamado fulcro (fulcrum), a la
que se aplica una fuerza y que, girando sobre el punto de apoyo, vence una
resistencia. Se cumple la conservación de la energía y, por lo tanto, la
fuerza aplicada por su espacio recorrido ha de ser igual a la fuerza de
resistencia por su espacio recorrido.
La palanca es una máquina simple cuya función consiste en transmitir
fuerza (todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma
de los materiales) y desplazamiento (vector que define la posición de un
punto o partícula en relación a un origen A con respecto a una posición B).
Está compuesta por una barra rígida que puede girar libremente alrededor de
un punto de apoyo, llamado fulcro.
Puede utilizarse para amplificar la fuerza mecánica aplicada a un objeto,
para incrementar su velocidad o distancia recorrida, en respuesta a la
aplicación de una fuerza.
Análisis Estático
Ley de la Palanca: “Potencia por su brazo es igual a resistencia por su
brazo”
Es la ley que relaciona las fuerzas de una palanca en equilibrio se expresa
mediante la ecuación:
donde P es la potencia, R es la resistencia, y Bp y Br los brazos de
palanca o las distancias medidas desde el fulcro (punto de apoyo) hasta los
puntos de aplicación de P y R respectivamente, llamadas brazo de potencia Bp
y brazo de resistencia Br.
Para establecer la relación entre las fuerzas y las masas actuantes de una
palanca que rota aceleradamente, como en el caso de una catapulta, deberá
considerarse la dinámica del movimiento sobre la base de los principios de
conservación de cantidad de movimiento y momento angular.
Historia
El invento de la palanca y su empleo en la vida cotidiana proviene de la
época prehistórica. Su empleo cotidiano, en forma de cigüeñales o shaduf
(palabra árabe para designar una máquina simple que, usada a modo de
palanca, sirve para subir agua desde un río, canal, depósito a un pozo)
(Figura 1). Aunque se atribuye al cigüeñal un origen egipcio, datándose el
inicio de su uso durante el Imperio Nuevo (c. 1550-1070 a.C.), ya figuraba
en relieves y sellos cilíndricos de Mesopotamia (datados entre 2500 y 3000
a.C.). También se encuentra representado en Mohenjo-Daro, India (c. 2500
a.C.). Los romanos también lo usaban, (en latín, tolleno), y está
representado en un fresco de Herculano. está documentado desde el tercer
milenio a.C. El manuscrito más antiguo que se conserva con una mención a la
palanca forma parte de la Synagoge o Colección matemática de Pappus de
Alejandría ((c. 290-350 d.C.), una obra en ocho volúmenes que se estima
fue escrita alrededor del año 340 d.C. Allí aparece la famosa cita de
Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo” (Figura
7).
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| Figura 7. La palanca de Arquímedes. Uso para el desplazamiento de bloques para las pirámides egipcias |
3. La Polea o Garrucha
Dispositivo mecánico de tracción constituido por una rueda acanalada o
roldana por donde pasa una cuerda que gira sobre un eje central, lo que
permite transmitir una fuerza en una dirección diferente a la aplicada.
Además, formando conjuntos de aparejos o polipastos de dos o más poleas es
posible también aumentar la magnitud de la fuerza transmitida para mover
objetos pesados, a cambio de la reducción del desplazamiento producido
(Figura 8).
Según la definición del matemático francés Julien Hatón de la Goupillière
(1833-1927), “la polea es el punto de apoyo de una cuerda que moviéndose se
arrolla sobre ella sin dar una vuelta completa” actuando en uno de sus
extremos la resistencia y en otro la potencia. También se conoce esta
máquina simple como rueda y eje.
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| Figura 8. La Polea |
Análisis Estático
Los elementos constitutivos de una polea son la rueda o polea propiamente
dicha, en cuya circunferencia (llanta) suele haber una acanaladura
denominada “garganta” o “cajera” cuya forma se ajusta a la de la cuerda a
fin de guiarla; las “armas”, armadura en forma de U invertida o rectangular
que la rodea completamente y en cuyo extremo superior monta un gancho por el
que se suspende el conjunto, y el “eje”, que puede ser fijo si está unido a
las armas estando la polea atravesada por él (“poleas de ojo”), o móvil si
es solidario a la polea (“poleas de eje”). Cuando, formando parte de un
sistema de transmisión, la polea gira libremente sobre su eje, se denomina
“loca”.
Según su desplazamiento las poleas se clasifican en “fijas”, aquellas cuyas
armas se suspenden de un punto fijo (como la estructura del edificio) y, por
lo tanto, no sufren movimiento de traslación alguno cuando se emplean, y
“móviles”, que son aquellas en las que un extremo de la cuerda se suspende
de un punto fijo y que durante su funcionamiento se desplazan, en general,
verticalmente, es decir, el eje de la polea puede moverse en sentido
ascendente o descendente.
Cuando la polea obra independientemente se denomina “simple”, mientras que
cuando se encuentra reunida con otras formando un sistema recibe la
denominación de “combinada” o “compuesta”.
En la Figura 9 se observa el análisis estático de los diferentes tipos de
poleas. En una polea fija la potencia P es igual a la resistencia R. En una
polea móvil la potencia P es igual a la mitad de la resistencia
R/2.
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| Figura 9. Estática de la polea |
Historia
Cuando los pueblos primitivos levantaban objetos pesados lanzando lianas u
otras cuerdas toscas por encima de las ramas de los árboles, estaban usando
el concepto de una única polea fija para cambiar la dirección de una fuerza.
Como no había una rueda que girase, su uso producía una fricción
considerable. Se cree que hacia el 1500 a.C. los habitantes de Mesopotamia
usaban poleas de cuerda para elevar agua.
En el año 3000 a.C. ya existían en Egipto y Siria poleas hechas con una
rueda que tenía una muesca en el canto (para impedir que la cuerda se
saliera). Se atribuye al matemático e inventor griego Arquímedes la
invención en torno al 230 a.C. de la polea compuesta en la que se combinan
una serie de ruedas y sogas para para izar un único objeto con el fin de
multiplicar la fuerza de una persona (Figura 10). Los modernos polipastos
son ejemplos de polea compuesta. Según la leyenda y los escritos del
historiador griego Polibio, Arquímedes debió de utilizar una polea compuesta
para mover pesadas embarcaciones con un mínimo esfuerzo.
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| Figura 10. Poleas en la antigüedad. Izquierda: polea egipcia. Derecha: sistema de izado de un barco con poleas compuestas |
No existen registros de cuándo o quién desarrolló la polea por primera vez.
Sin embargo, se piensa que Arquímedes de Siracusa desarrolló el primer
aparejo de poleas, como lo escribió Plutarco, quien en su obra Vidas
paralelas (c. 100 a.C.) relata que Arquímedes, en carta al rey Hierón de
Siracusa, a quien le unía gran amistad, afirmó que con una fuerza dada podía
mover cualquier peso e incluso se jactó de que, si existiera otra Tierra,
yendo a ella podría mover ésta. Hierón, asombrado, solicitó a Arquímedes que
realizara una demostración. Acordaron que el objeto a mover sería la mayor
nave de la armada real, la Syrakosa, que pesaba 4200 toneladas y que en el
momento de su botadura había quedado encallada. Hierón creía que el barco no
podría sacarse de la dársena y llevarse a dique seco sin el empleo de un
gran esfuerzo y numerosos hombres. Según relata Plutarco, tras cargar el
barco con muchos pasajeros y con las bodegas repletas, Arquímedes, sentado a
cierta distancia, utilizó poleas compuestas y un sistema de cuerdas que,
junto con palancas apuntaladas en varios puntos de la quilla de la nave,
lograron ponerla a flote, ante la fascinación de Hierón (Figura
11).
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| Figura 11. Arquímedes mueve un barco mediante poleas en el puerto de Siracusa |
4. El Torno
Es un dispositivo mecánico generalmente utilizado para mover verticalmente
grandes pesos. Está formado por una cuerda de la que se fija uno de los
extremos al peso a desplazar y el otro extremo a un cilindro que es a su vez
fijado de tal manera que solo puede rotar en torno a su eje principal.
Actuando el cilindro con una manivela la cuerda se enrolla sobre él,
consiguiendo subir el peso.
Análisis Estático
El torno es una máquina constituida por un cilindro que lleva arrollada una
cuerda y que puede girar sobre su eje mediante la acción de una manivela,
basándose en el mismo principio que la palanca, transformando el balance de
dos fuerzas en el balance de sus correspondientes momentos de giro. Para
ello se vale de que el radio de giro R de la manivela (a la que se aplica la
fuerza de trabajo P), es mucho mayor que el radio de giro r, coincidente con
el radio del cilindro del torno (al que se aplica mediante la cuerda la
fuerza del peso Q que se desea izar). En consecuencia, para izar el peso,
basta con aplicar una fuerza tal que aplicando la ley de la
polea:
de lo que se deduce que cuanto mayor sea el radio de la manivela R y menor
el del cilindro del torno r, menor será la fuerza P necesaria para izar el
peso Q (Figura 12).
En el torno, la razón entre la potencia y la resistencia es igual a la
razón entre los radios del cilindro y la manivela,
respectivamente.
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| Figura 12. Estática del torno |
Historia
Los primeros ejemplares del torno más sencillo se remontan a épocas
cercanas a la invención de la rueda en lo que se conoce popularmente como el
torno de alfarero y que sin duda evolucionó por la demanda de trabajos
particulares, al torno horizontal. Aunque un instrumento rudimentario cuyo
propósito sería el de trabajar la madera.
El arquitecto romano Marco Vitruvio describió alrededor del año 28 a.C.
esta máquina como “un montaje de madera, especialmente eficaz para levantar
pesos grandes”. También han sido tradicionalmente muy utilizados para sacar
agua de los pozos. La descripción más antigua de un pozo con torno, un
cilindro de madera instalado a través del brocal del pozo, se debe a Isidoro
de Sevilla (hacia 560-636).
En 1250 nació el torno de pedal y pértiga flexible, que representó un gran
avance sobre el accionado por arquillo, puesto que permitía dejar las manos
del operario libres para manejar la herramienta. La representación más
antigua de un torno para izar agua se puede encontrar en el Libro de la
Agricultura publicado en 1313 por el funcionario chino de la Dinastía Yuan
llamado Wang Zhen (hacia 1290-1333).
Durante la Edad Media el torno se utilizó profusamente para izar materiales
en la construcción de edificios, como por ejemplo en la curiosa aguja en
espiral de la iglesia de Chesterfield. Al final de la Baja Edad Media, las
ballestas más pesadas montaban tornos para tensarse en toda Europa,
procedimiento utilizado en Inglaterra ya desde 1215.
A comienzos del siglo XV se introdujo un sistema de transmisión por correa,
que permitía usar el torno en rotación continua. A finales del siglo XV,
Leonardo da Vinci trazó en su Códice Atlántico el boceto de varios tornos
que no pudieron ser construidos entonces por falta de medios pero que
sirvieron de orientación para futuros desarrollos. Hacia 1480 el pedal fue
combinado con un vástago y una biela. Con la aplicación de este mecanismo
nació el torno de accionamiento continuo, lo que implicaba el uso de
biela-manivela, que debía ser combinada con un volante de inercia para
superar los puntos muertos (Figura 13).
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| Figura 13. Tornos antiguos |
5. El Plano inclinado
El plano inclinado es una máquina simple que consiste en una superficie
plana, resistente, que forma un ángulo agudo con el suelo y se utiliza para
elevar cuerpos a determinada altura. En el plano inclinado se aplica una
fuerza para vencer la resistencia vertical del peso del objeto a levantar
y/o vencer la fuerza de rozamiento. Dado el principio de conservación de la
energía, cuanto más pequeño sea el ángulo del plano inclinado, más peso se
podrá elevar con la misma fuerza aplicada, pero a cambio, la distancia a
recorrer será mayor.
En la naturaleza aparece como una rampa y tiene la ventaja de necesitarse
una fuerza menor a la empleada para levantar dicho cuerpo verticalmente
(logrado gracias a la descomposición de fuerzas), aunque se deba aumentar la
distancia recorrida y vencer el rozamiento.
El trabajo realizado al usar un plano inclinado es el mismo que si no lo
usáramos. La diferencia es que, al usar el plano inclinado, aplicamos menos
fuerza durante mayor distancia, y si no lo usáramos aplicaríamos mayor
fuerza durante menos distancia.
Es importante tener en cuenta que en el funcionamiento del plano inclinado
inciden diversas fuerzas, como la fuerza de gravedad (el peso, que surge de
la magnitud de la masa en dirección vertical), la fuerza normal (la fuerza
de reacción que el plano ejerce sobre el cuerpo de acuerdo a la Tercera Ley
de Newton) y la fuerza de fricción (la fuerza de rozamiento que ejerce
resistencia respecto al sentido del desplazamiento del elemento u objeto en
relación a la superficie).
Para analizar las fuerzas existentes sobre un cuerpo situado sobre un plano
inclinado, hay que tener en cuenta la existencia de varios orígenes en las
mismas.
Análisis Estático
En un plano inclinado, la razón entre la potencia y la resistencia es igual
a la razón entre la altura y la longitud del plano inclinado (Figura
14).
Ley del Plano Inclinado: “Fuerza por longitud (del plano) es igual a
resistencia por altura”
Es la ley que relaciona las fuerzas de un plano inclinado en equilibrio al
considerarlo como una máquina simple, y que se expresa mediante la
ecuación:
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| Figura 14. Estática del plano inclinado |
donde,
F: es la fuerza aplicada para desplazar la carga sobre el
plano.
R: es el valor de la carga.
L: es la longitud del plano.
H: es la altura final que alcanza el objeto, es decir, la altura a la que
asciende.
Para el análisis estático se hacen las consideraciones presentadas en la
Figura 15.
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| Figura 15. Análisis del plano inclinado |
Historia
Aunque el plano inclinado es un operador presente en la naturaleza y que ya
había sido fabricado en forma de cuña por parte de las culturas
prehistóricas, se supone que no empezaron a construirse rampas
conscientemente hasta el nacimiento de las culturas megalíticas y la
consiguiente necesidad de desplazar y emplear grandes bloques de piedra.
Hacia el 2800 a.C., en Mesopotamia, empieza a emplearse en forma de escalera
de obra en las viviendas y construcciones sociales. Después los romanos
generalizaron su uso para el trazado de calzadas y la conducción de agua a
las ciudades (acueductos).
El plano inclinado ha sido utilizado desde tiempos prehistóricos para mover
objetos pesados. Los caminos inclinados y calzadas construidas por antiguas
civilizaciones como los romanos son ejemplos de primeros planos inclinados
que han sobrevivido, y muestran que comprendían el valor de este dispositivo
para mover las cosas cuesta arriba. Las piedras pesadas utilizadas en
antiguas estructuras de piedra como Stonehenge se cree que han sido movidas
e instaladas en su lugar con planos inclinados hechos de tierra, aunque es
difícil encontrar pruebas de este tipo de construcción de rampas temporales.
Las pirámides de Egipto fueron construidas utilizando planos inclinados
(Figura 16), las rampas de asedio permitieron a los ejércitos antiguos
superar los muros de las fortalezas. Los antiguos griegos construyeron una
rampa pavimentada de 6 km (3,7 millas) de largo, los Diolkos, para arrastrar
los barcos por tierra a través del istmo de Corinto.
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| Figura 16. Construcción de una pirámide mediante rampas |
Sin embargo, el plano inclinado fue el último de los seis clásicos máquinas
simples para ser reconocido como una máquina. Esto es probablemente debido a
que es un dispositivo pasivo inmóvil (la carga es la parte móvil), y también
porque se encuentra en la naturaleza en forma de laderas y colinas. A pesar
de que entienden su uso en el levantamiento de objetos pesados, los antiguos
griegos filósofos que definen las otras cinco máquinas simples no incluían
el plano inclinado como una máquina. Este punto de vista se mantuvo entre
algunos científicos posteriores. El matemático Simon Stevin (1548–1620) fue
el primero en enunciar las leyes que determinan el comportamiento de los
cuerpos en un plano inclinado en la segunda mitad del siglo XVI. Todavía en
1826 Karl von Langsdorf escribió que un plano inclinado “ ... no es más que
una máquina es la pendiente de una montaña. El problema de calcular la
fuerza necesaria para empujar un peso sobre un plano inclinado (su ventaja
mecánica) fue tratado por los filósofos griegos Herón de Alejandría (c.
10-60 d.C.) y Pappus de Alejandría (c 290-350 d.C.), pero se
equivocaron.
No fue hasta el Renacimiento que el plano inclinado fue clasificado con las
otras máquinas simples. El primer análisis correcto del plano inclinado
apareció en la obra del enigmático autor del siglo XIII Jordanus Nemorarius,
sin embargo, su solución aparentemente no fue comunicada a otros filósofos
de la época. Girolamo Cardano (1570) propuso la solución incorrecta de que
la fuerza de entrada es proporcional al ángulo del plano. Luego, al final
del siglo XVI, tres soluciones correctas se publicarán en un plazo de diez
años, por Michael Varrón (1584), Simon Stevin (1586), y Galileo Galilei
(1592). Aunque fue la segunda, la derivación del ingeniero flamenco Simon
Stevin la más conocida, por su originalidad y el uso de un collar de cuentas
(Figura 16). Fue publicada en 1586 en De Beghinselen der Weeghconst, tratado
sobre Estática que, en el libro primero, contiene la teoría del equilibrio
de los cuerpos en el plano inclinado y, en el libro dos, presenta el cálculo
de centros de gravedad. En él, Stevin sustituye el método indirecto de
exhausción o de agotamiento (utilizado por Arquímedes y otros insignes
matemáticos griegos y que consiste en un procedimiento geométrico de
aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la
medida en que avanza el cálculo) por un método directo que representa un
gran paso hacia el concepto matemático de límite. Stevin dio la primera
teoría correcta relacionada a la fuerza sobre un cuerpo en un plano
inclinado.
En 1586, el ingeniero flamenco Simon Stevin (Stevinus) derivó la ventaja
mecánica del plano inclinado mediante un argumento que utilizaba una cadena
de cuentas. Imaginó dos planos inclinados de igual altura, pero diferentes
pendientes, colocados uno contra otro (Figura 17) como en un prisma. El lazo
de cuerda con cuentas a intervalos iguales se asienta sobre los planos
inclinados, con una parte colgando libremente hacia abajo. Las cuentas que
descansan sobre los planos inclinados actúan como cargas en estos,
sostenidas por la fuerza de tensión en la cuerda en el punto T. El argumento
de Stevin es el siguiente:
- La cuerda debe ser estacionaria, en equilibrio estático. Si fuera más pesada en un lado que en el otro, y comenzara a deslizarse hacia la derecha o hacia la izquierda por su propio peso, cuando cada cuenta se hubiera movido a la posición de la cuenta anterior, la cadena no se distinguiría de su posición inicial y, por lo tanto, continuaría estando desequilibrada y deslizándose. Este argumento podría repetirse indefinidamente, dando como resultado un movimiento perpetuo circular, lo cual es absurdo. Por lo tanto, es estacionario, con las fuerzas a ambos lados del punto T (Figura 17) iguales.
- La porción de la cadena que cuelga debajo de los planos inclinados es simétrica, con un número igual de cuentas en cada lado. Ejerce una fuerza igual en cada lado de la cuerda. Por lo tanto, esta porción de la cuerda se puede cortar en los bordes de los planos (puntos S y V), dejando solo las cuentas que descansan en los planos inclinados, y esta porción restante aún estará en equilibrio estático.
- Dado que las cuentas están a intervalos iguales en la cuerda, el número total de cuentas soportadas por cada plano, la carga total, es proporcional a la longitud del plano. Dado que la fuerza de soporte de entrada, la tensión en la cuerda, es la misma para ambos, la ventaja mecánica de cada plano es proporcional a su longitud inclinada (la de cada pendiente o gradiente).
El argumento de Stevin no es completamente firme. Las fuerzas ejercidas por
la parte colgante de la cadena no necesitan ser simétricas porque la parte
colgante no necesita retener su forma cuando se suelta. Incluso si la cadena
se libera con un momento angular cero, el movimiento, incluidas las
oscilaciones, es posible a menos que la cadena esté inicialmente en su
configuración de equilibrio, una suposición que convertiría en circular el
argumento.
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| Figura 17. Epitafio de Stevinus. Modelo de equilibrio utilizado por Simon Stevin mediante un collar de cuentas |
Las primeras reglas elementales de deslizamiento de fricción en un plano
inclinado fueron descubiertas por Leonardo da Vinci (1452-1519), pero no se
publicó en sus cuadernos. Fueron redescubiertas por Guillaume Amontons
(1699) y fueron desarrolladas por Charles Augustin Coulomb (1785). En 1600,
el científico italiano Galileo Galilei incluyó el plano inclinado en su
análisis de las máquinas simples en Le Meccaniche (“La Mecánica”), mostrando
su similitud subyacente a las otras máquinas como un multiplicador de
fuerza. Leonhard Euler (1750) demostró que la tangente del ángulo de reposo
en un plano inclinado es igual al coeficiente de fricción ya que la
geometría del plano inclinado se basa en un triángulo
rectángulo.
6. La Rosca o el Tornillo
El tornillo deriva directamente de la máquina simple conocida como plano
inclinado y siempre trabaja asociado a un orificio roscado. Básicamente
puede definirse como un plano inclinado enrollado sobre un cilindro, o lo
que es más realista, un surco helicoidal tallado en la superficie de un
cilindro (si está tallado sobre un cilindro afilado o un cono tendremos un
tirafondo). En el tornillo se distinguen tres partes básicas: cabeza, cuello
y rosca.
El tornillo es una máquina constituida por una “cabeza”, sobre la que se
aplica la potencia, y una parte cilíndrica, sobre la que se ha tallado un
surco de sección triangular o cuadrangular, que se denomina “rosca” y
describe una espiral.
El mecanismo de rosca transforma un movimiento giratorio aplicado a un
volante o manilla, en otro rectilíneo en el husillo, mediante un mecanismo
de tornillo y tuerca. La fuerza aplicada por la longitud de la
circunferencia del volante ha de ser igual a la fuerza resultante por el
avance del husillo. Dado el gran desarrollo de la circunferencia y el
normalmente pequeño avance del husillo, la relación entre las fuerzas es muy
grande. Herramientas como el gato del coche o el sacacorchos derivan del
funcionamiento del tornillo.
Análisis Estático
En un tornillo, la razón entre la potencia P y la resistencia R es igual a
la razón entre el paso p del tornillo (2π) y la longitud l de la
circunferencia descrita por el extremo de la llave (Figura 18).
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| Figura 18. Estática del tornillo |
Historia
El tornillo tiene su origen en el griego Arquitas de Tarento, considerado
también el inventor de la polea. Su perfeccionamiento estuvo a cargo de
Arquímedes quien inventó el torno y un “tornillo sin fin” (Figura 19). Los
primeros antecedentes de la utilización de roscas se remontan al tornillo de
Arquímedes, desarrollado por el sabio griego alrededor del 300 a.C.,
empleándose ya en aquella época profusamente en el valle del Nilo para la
elevación de agua.
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| Figura 19. Tornillo de Arquímedes: un sistema de espiral incorporado a un cilindro donde el tornillo, accionado por una manivela, giraba a gran velocidad |
Fue durante la edad media que se le dio uso a través de las “empulgueras” o
“aplastapulgares” un método de tortura en el que se hacía girar una especie
de tuerca sobre un tornillo con el objetivo de aplastar los dedos de un
individuo.
Durante el Renacimiento las roscas comienzan a emplearse como elementos de
fijación en relojes, máquinas de guerra y en otras construcciones mecánicas.
Leonardo da Vinci desarrolló por entonces métodos para el tallado de roscas;
sin embargo, estas seguirán fabricándose a mano y sin ninguna clase de
normalización hasta bien entrada la Revolución industrial. En el siglo XVI
aparecieron los tornillos de madera y su uso se extendió a las máquinas de
guerra. Debido a que eran fabricados de manera artesanal su tamaño variaba
de uno a otro. Por esa época los maestros armeros hablaban del
giratornillos, pequeña herramienta que ajustaba los mecanismos pequeños de
las armas, especie de destornillador-atornillador. Con la llegada de la
Revolución Industrial comenzó la producción en masa de los tornillos, aunque
aún hacía falta la estandarización de los tamaños.
Al principio, el tornillo era un clavo al que se le hacía dar dos vueltas
al final del mismo para que aguantaran mejor y no se desclavara. Como los
demás clavos, era introducido a martillazos. Como a menudo era necesario
sacarlo, se practicó una ranura en su cabeza para poder extraerlos con el
giratornillos o primer destornillador de la historia, perfeccionado ya en el
año 1676 por el francés André Félibien, creador del tournevis, de hoja corta
y sin filo.
Como los clavos de rosca o tornillos eran muy caros sólo se utilizaban en
trabajos delicados o en piezas de valor. En el año 1500 se inventó en
Núremberg el tornillo de banco. El primer torno para fabricar tornillos
roscados apareció en Francia hacia 1560, era de madera a pesar de que las
piezas a mecanizar y las herramientas de corte eran metálicas.
El ingeniero alemán Georgius Agricola había descrito por primera vez un
tornillo metálico en un libro suyo publicado en 1556, donde incluía un
grabado ilustrativo de cómo unir el cuero a la madera mediante tornillo.
Pero resultaba un producto muy caro ya que era necesario limar a mano la
rosca espiral, Ello fue así hasta el invento de la máquina de hacer
tornillos patentada en Inglaterra en 1760 por Job y William Wyatt, que podía
fabricar unos ocho tornillos por minuto.
En 1841, el ingeniero británico Joseph Whitworth definió la rosca que lleva
su nombre, una rosca universal para todos los tornillos, independientemente
de donde se hubiesen fabricado. Gracias a ello es que su uso se hace más
confiable.
En 1864, William Sellers hizo lo mismo en Estados Unidos. Esta situación se
prolongó hasta 1946, cuando la Organización Internacional de Normalización
(ISO) definió el sistema de rosca métrica, adoptado actualmente en
prácticamente todos los países. En los Estados Unidos, en cambio, se sigue
empleando la norma SAE (Society of Automotive Engineers: Sociedad de
Ingenieros de Automoción).
7. La Cuña
La cuña es una máquina simple que consiste en una pieza de material duro y
tenaz como la madera o el metal con forma de prisma triangular que se
utiliza para romper o separar cuerpos. Técnicamente es un doble plano
inclinado portátil. Sirve para hender o dividir cuerpos sólidos, para
ajustar o apretar uno con otro, para calzarlos o para llenar alguna raja o
círculo. En un dispositivo que transforma una fuerza vertical en dos fuerzas
horizontales de sentido contrario. El ángulo de la cuña determina la
proporción entre las fuerzas aplicadas y la resultante, de un modo parecido
al plano inclinado. Es el caso de hachas o cuchillos.
El funcionamiento de la cuña responde al mismo principio del plano
inclinado. Al moverse en la dirección de su extremo afilado, la cuña genera
grandes fuerzas en sentido perpendicular a la dirección del movimiento.
Ejemplos muy claros de cuña son: hachas, cinceles y clavos, aunque, en
general, cualquier herramienta afilada, como el cuchillo o el filo de las
tijeras, puede actuar como una cuña.
Análisis Estático
En una cuña, la razón entre la potencia P y la resistencia R es igual a la
razón entre la longitud de la cabeza b y el lado de la cuña l (Figura
20).
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| Figura 20. Estática de la cuña. La fuerza descendente sobre la cuña produce una fuerza horizontal mucho mayor sobre el objeto |
Historia
El hombre de Cromañón ya la empleaba bajo la forma de hacha, cuchillo y
puntas de lanza. En el 3000 a.C. ya se empleaba en las canteras egipcias
para la separación de grandes bloques de piedra y para extraer tablas de los
árboles. También por esta época se empieza a emplear en forma de sierra para
madera. Hacia el 2900 a.C. se empieza a emplear en Sumeria bajo la forma de
arado de madera. Hacia el 1000 a.C. se aplica a las tijeras para trasquilar
ovejas. En 1848 es empleada por Linus Yale para la fabricación de la llave
de la primera cerradura de seguridad. Esa llave estaba dotada de dientes de
sierra con alturas diferentes. En 1906 se patenta la cremallera formada por
dientes que se engarzan entre sí por efecto de dos planos inclinados que los
presionan. Una cuña introducida entre ellos permite separarlos.
La cuña sirve para modificar la dirección de una fuerza, pues convierte una
fuerza longitudinal en dos fuerzas perpendiculares a los planos que forman
el ángulo agudo. Esta utilidad es la empleada para abrir o separar cuerpos:
obtener tablones de los árboles, partir piedras en canteras, cerrar o abrir
los dientes de una cremallera. Convertir un movimiento lineal en otro
perpendicular. Si combinamos dos cuñas podemos convertir el movimiento
lineal de una en el desplazamiento perpendicular de la otra creando una gran
fuerza de apriete. Esta utilidad es especialmente apreciada en el ajuste de
ensambles en madera, sujeción de puertas, ajuste de postes en la
construcción, llaves de cerraduras, etc.
Es útil también como herramienta de corte, haciendo uso de la arista
afilada (cuchillo, abrelatas, tijeras, maquinilla eléctrica, cuchilla de
torno, etc.) o recurriendo al tallado de pequeñas cuñas (dientes de sierra) que
en su movimiento de avance son capaces de arrancar pequeñas virutas (sierra
para metales, serrucho, sierra mecánica, fresa, lima, etc.).
Referencias
Bails, B. (1780). Elementos de Matemáticas. Tomo IV. Por d. Joachin Ibarra,
Impresor de Cámara de S. M y de la Real Academia. Madrid.
Odriozola, J. (1834). Tratado Elemental de Mecánica. Tomo I. Estática y
Dinámica. Madrid.
Cita
Osorio, S. (2020). La Estática de las Siete Máquinas Simples. Relatos de la Geotecnia. Blogger.com. geotecnia-sor2.blogspot.com. https://geotecnia-sor2.blogspot.com/2020/06/la-estatica-de-las-siete-maquinas.html
Relatos de la Geotecnia
+ Apuntes de Geotecnia con Énfasis en Laderas
Ir a:
1 - Martinique, Antilles - France Février 1764 (Martinica, Antillas - Francia , febrero de 1764)
2 - Angoulême, province d'Angoumois - France 14 juin 1736 (Angoulême, provincia de Angumois - Francia, 14 de junio de 1736)
3 - Mézières, département des Ardennes - France 11 février 1760 (Mézières, departamento de Ardennes - Francia, 11 de febrero de 1760)
4 - Paris - France 10 mars 1773 (París - Francia, 10 de marzo de 1773)
5 - L'essai de 1773 sur la statique - 1a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 1a Parte)
6 - L'essai de 1773 sur la statique - 2a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 2a Parte)
7 - L'essai de 1773 sur la statique - 3a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 3a Parte)
8 - L'essai de 1773 sur la statique - 4a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 4a Parte)
9 - L'essai de 1773 sur la statique - 5a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 5a Parte)
10 - L'essai de 1773 sur la statique - 6a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 6a Parte)
11 - L'essai de 1773 sur la statique - 7a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 7a Parte)
12 - L'essai de 1773 sur la statique - 8a parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 8a Parte)
13 - La vie de Coulomb après l’Essai de 1773 (La vida de Coulomb posterior al 'Essai' de 1773)Apéndice A - Fuerte Bourbon (1765-1772)
Apéndice D - La Statique (La Estática)
Apéndice E - Mécanique Classique (Mecánica Clásica)
Apéndice F - De la résistance des matériaux (De la Resistencia de Materiales)
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