El Plano Inclinado y la Fricción en la Ingeniería Geotécnica

Por: Santiago Osorio R.

Contenido de la Cuarta Parte

Los Experimentos de Amontons (c. 1699)
Amontons y la Presentación de Los Principios de Isaac Newton (1641-1727)
Los Resultados sobre la Fricción de Parent (1705)
Las Contribuciones de Bélidor a la Fricción (1737)
La Fricción según Euler (c. 1748)

Los Experimentos de Amontons (c. 1699)

La primera descripción de la fricción seca se debe al científico francés Guillaume Amontons. Al realizar las pruebas de fricción, indudablemente se inspiró en los famosos bocetos de Leonardo da Vinci. En sus pruebas originales, la presión se aplicaba mediante un resorte plano vertical, mientras que la fuerza de fricción se medía con un resorte helicoidal horizontal (Figura 34).

Dos siglos después de los descubrimientos de Leonardo da Vinci, el físico francés Guillaume Amontons (1663-1705) redescubrió las leyes de la fricción mientras estudiaba el deslizamiento en seco de dos superficies planas y las publicó en los Proccedings of the French Royal Academy of Sciences (Amontons, 1699). Hizo experimentos en una superficie horizontal y midió la fuerza de fricción con un resorte. Descubrió que la fricción es proporcional a la fuerza normal e independiente del área de contacto. Llamó constante de fricción al factor proporcional; erróneamente, creía en la existencia de un coeficiente de fricción universal. Mientras Leonardo probó la fricción estática, Amontons se ocupó de la fricción cinética. En la introducción de su artículo escribió: “El gran uso que todas las artes están obligadas a hacer de las máquinas es una prueba convincente de su absoluta necesidad ...” De hecho, entre todos los que han escrito sobre el tema de las fuerzas en movimiento, probablemente no hay nadie que haya prestado tanta atención al efecto de la fricción en las máquinas.

Durante la construcción de su motor térmico llamado “moulin a feu”, también se encontró con problemas de fricción que describió de la siguiente manera: “Es incorrecto suponer, como de costumbre, que la fricción de dos superficies deslizantes aumenta con el aumento del área de contacto. Los experimentos muestran que la fricción aumenta con el aumento de la carga”. Demostró la independencia de la fuerza de acción de la extensión del área de deslizamiento.

La primera serie de experimentos de Amontons se realizó usando lo que se muestra en la Figura 34. AA y BB son dos placas hechas de diferentes materiales (cobre, hierro, plomo, madera, recubiertas con grasa de cerdo), de diferentes tamaños. La presión ejercida por el resorte CCC, sometida a presión constante, mantiene juntas ambas placas. El resorte D mide la fuerza necesaria para que BB se deslice sobre AA. Después de probar esta disposición en todas las combinaciones posibles (por ejemplo, AA de cobre y BB de hierro). Los resultados obtenidos por Amontons durante una serie de experimentos con un número variable de materiales deslizantes mostraron una buena reproducibilidad que lo llevó a las siguientes leyes de fricción:

Primo: La resistencia causada por la fricción aumenta o disminuye a medida que las presiones, cuyas magnitudes dependen más o menos de si las superficies de fricción son grandes o pequeñas.
Secundo: La fricción es casi la misma para el hierro, el cobre, el plomo y la madera en cualquier combinación cuando se lubrica con aceite de manteca.
Tertio: La fuerza de fricción es aproximadamente igual a un tercio de la presión normal.
A estas observaciones, Amontons añadió esta cuarta: La fuerza de fricción depende de una relación complicada entre la presión normal, el tiempo y la velocidad de deslizamiento.

Amontons ilustró sus conclusiones diciendo que, si la placa AA se presiona sobre el plano BB con una presión igual a 30 libras, entonces se necesita una fuerza de 10 libras para moverla, independientemente del modo de movimiento. Es decir, AA podría ubicarse encima de una superficie horizontal o colgando de una rueda (polea). Según Amontons, esto era el resultado del hecho mecánico de que dos fuerzas no actúan por igual, excepto cuando están en la relación recíproca de su distancia al punto de apoyo. Este es el concepto que hoy se conoce como regla de la palanca.

Amontons notó que el esfuerzo de los pulidores de hielo no dependía del área del pulidor sino solo del esfuerzo de presión normal. En sus experimentos, Amontons usó resortes para medir fuerzas laterales y, por lo tanto, debe haber sido capaz de medir tanto la fricción estática como la cinética. Por sus anotaciones, se concluye que Amontons tampoco era consciente de la diferencia de los dos fenómenos de fricción.

Aparato para medir la fricción de Amontons

Figura 34. Aparato para medir la fricción (izquierda). Experimento de fricción multiplicada con placas horizontales superpuestas (derecha). El resorte D mide la fuerza de fricción durante el proceso de deslizamiento entre los materiales A y B. El resorte C ajusta la fuerza normal (Amontons 1699)

Amontons creía que la fricción era principalmente el resultado del trabajo realizado para levantar una superficie sobre la rugosidad de la otra, o de la deformación o el desgaste de la otra superficie. Cuando en dos superficies se colocan los dientes de la superficie superior asentados en las ranuras de la superficie inferior, para que la superficie superior se deslice, una fuerza lateral tiene que sacar los dientes de las ranuras (fricción estática). Esto provoca una pérdida de energía, que se manifiesta como una fuerza de fricción: “meditando detenidamente sobre la naturaleza de la fricción encontraremos que no es otra cosa que la acción por la cual un cuerpo que se presiona contra otro se mueve sobre la superficie de la fricción. el que toca, y como las superficies que rozan entre sí no pueden considerarse, o solo como rugosas y desiguales, o solo como unidades perfectas, y como es imposible en el primer caso que estas desigualdades no sean partes convexas, y partes cóncavas, y que las primeras entrando en las últimas no producen cierta resistencia cuando se quiere hacerlas mover, ya que para eso hay que aflojar lo que las aprieta uno contra el otro ...”

Además, explicó que la fuerza para mover simultáneamente un número de bloques ingrávidos apilados uno encima del otro y cargados con un peso arbitrario depende del número de caras deslizantes. La resistencia en cada cara de deslizamiento es proporcional al peso aplicado y la resistencia total es igual a esta fuerza multiplicada por el número de superficies deslizantes. A continuación, Amontons analizó la fricción que se produce entre una polea y un cordón trenzado y preparó una tabla que permitió un cálculo rápido de la fuerza necesaria para levantar un peso en función del radio de la polea, el peso a levantar y el número de hilos en el cable. Si bien Leonardo probó la fricción estática, Amontons se ocupó de la fricción cinética, aunque a partir de estos escritos no está claro que fuera consciente de la diferencia entre los dos fenómenos.

Según Frank Philip Bowden y David Tabor, la Académie des Sciences francesa recibió con escepticismo el redescubrimiento de las leyes de da Vinci por parte de Amontons, que repitió durante la presentación de su rueda de fuego (Figura 35): En el discurso que Amontons pronunció en su Moulin à feu (molino de fuego), solo argumentó de pasada que era un error creer, como se hace comúnmente, que la fricción de dos cuerpos que se mueven presionando el uno contra el otro, es aún mayor, cuando superficies que rozan son más grandes. Dijo que había reconocido por experiencia que la fricción solo aumenta a medida que los cuerpos se presionan entre sí y se cargan con mayor peso. Esta novedad causó cierto asombro en la Academia.

Figura 35. Molino de fuego de Amontons (1699)

Amontons y la Presentación de Los Principios de Isaac Newton (1641-1727)

A comienzos del siglo XVIII los principios newtonianos de la mecánica (estática y dinámica) recién se dieron a conocer y probablemente fueron utilizados para el análisis sólo por muy pocos matemáticos avanzados. Amontons, por otro lado, como muchos otros investigadores de su período y de períodos posteriores, empleó una gran cantidad de álgebra y geometría para elucidar los fenómenos básicos de fricción.

Las declaraciones de Amontons dadas anteriormente pueden expresarse en términos matemáticos convencionales actuales y escribirse como

F = f F_N

donde F es la fuerza de fricción, f es el coeficiente de fricción y F_N es la fuerza normal. Parece que la ley de Amontons en esta forma fue utilizada por primera vez por Euler. La declaración de Amontons lleva a la conclusión de que se dio cuenta de la complejidad de los fenómenos de fricción. Y, de hecho, muchos parámetros afectan y controlan directa o indirectamente la fricción seca y en los límites. El calor generado por la fricción, por ejemplo, puede provocar la oxidación de las superficies y cambios en las propiedades físicas y químicas que pueden afectar apreciablemente el valor del coeficiente de fricción.

Hardy demostró la validez de la ley de Amontons para condiciones estáticas, mientras que Beare y Bowden demostraron su aplicabilidad para condiciones de deslizamiento de límites cinéticos. A pesar de sus muchas limitaciones, representa una herramienta poderosa para la descripción general de la fricción en seco y en los límites.

Amontons también estudió la fricción de cuerdas sobre poleas. Los resultados se presentaron en un documento que denominó “Reglas para el cálculo de la rigidez de los cables en las máquinas” [l, págs. 220-224]. Observó diferentes valores de tensión en los dos extremos de una cuerda que descansa sobre una polea estacionaria al comienzo del movimiento relativo. Para un ángulo de contacto de 180°, para diámetros de cuerda que varían de 1 a 30 hebras (líneas) y para 5 rangos de cargas [(1-10 lb.), (10-100 lb.), (100-1000 lb.), (1000-10,000 lb.) y (10,000-100,000 lb.)] presentó datos en cinco tablas.

Los Resultados sobre la Fricción de Parent (1705)

Antoine Parent (1666-1716) realizó interesantes investigaciones sobre la fricción y justo antes de la muerte de Amontons en 1705, publicó los resultados de su experimentación en Recherches de mathématiques ou de physique.

El trabajo de Parent se centró en la geometría analítica tridimensional, la teoría de las fortificaciones, etc. Contribuyó a la teoría de vigas al calcular la distribución de esfuerzos en una viga de flexión en función del momento de flexión. Fue el primero en introducir el concepto de esfuerzo cortante en 1713, desarrollado más tarde por Coulomb. En 1700 introdujo el concepto de ángulo de pendiente natural o ángulo de fricción que indica la pendiente que aún puede tener la fuerza actuante, si se destruye por completo.

Basado en los reportes de Amontons y Desaguliers, las tres partes del trabajo de Parent describen la fricción en un plano inclinado, las fuerzas aplicadas a una cuña impulsada y la fricción entre una cuerda y una polea. La fricción en un plano o planos inclinados se ilustra mediante varios bocetos. Hay una discusión sobre la inclinación segura de una escalera con un hombre encima de ella. La tercera parte del documento, trata de una discusión sobre la fricción entre poleas y cuerdas. Indica que, para los dos casos ilustrados, 120° y 180° de contacto, la diferencia de tensiones entre los dos extremos de la cuerda es aproximadamente tres veces mayor en un lado que en el otro. Su contribución al conocimiento de la fricción fue importante porque introdujo una serie de nuevos problemas que finalmente se resolvieron en una fecha posterior. Fue el primero en indicar que la reacción de una superficie deslizante no coincide con la dirección de la normal a esa superficie; y llamó al ángulo máximo de inclinación de esta reacción el ángulo de equilibrio y mostró que la tangente de este ángulo es numéricamente igual al coeficiente de fricción.

Las Contribuciones de Bélidor a la Fricción (1737)

Poco conocidas son las publicaciones de Bernard Forest de Bélidor (1697-1761), un oficial de artillería francés y profesor de matemáticas, cuyas contribuciones en el campo de la fricción no deben pasarse por alto. Aunque Bélidor acusaba a sus predecesores Amontons y Parent de un uso excesivo del álgebra y la geometría que pueden llegar a asustarlo a uno, él mismo no pudo evitar su uso para ilustrar los muchos fenómenos de fricción que abordó. Su libro Architecture Hydraylique contiene cuatro láminas con un total de 49 figuras bellamente dibujadas (un vector está representado por una línea delgada y una mano humana tirando de él) que ilustran varios casos de problemas de fricción encontrados en la práctica, así como algunas ilustraciones de alguna naturaleza fundamental.

Bélidor consideró muy inteligentemente que las superficies reales de los sólidos son desiguales y consisten en una multitud de picos y valles semiesféricos. Bélidor imaginó superficies formadas por asperezas hemisféricas regulares (sin duda estaba pensando en átomos), las de una superficie tenían que ser atravesadas por las de la otra. Si se tienen tres esferas en disposición triangular, una cuarta esfera que llega a alojarse en el “nicho” formado por las tres primeras debe atravesar un obstáculo antes de poder deslizarse. Una vez que haya “subido” por encima de los demás, moverse debería ser más fácil.

Durante el deslizamiento de dos superficies, los picos se rozan entre sí y, por lo tanto, causan una resistencia al deslizamiento llamada fricción (Figura 36). Bélidor razonó que en una superficie de deslizamiento siempre habrá tres semiesferas similares A, B y C entre las cuales hay una cuarta. La semiesfera de la segunda superficie deslizante encontrará su lugar de contacto, disponiéndose de modo que las líneas que conectan sus centros formen un tetraedro. Aplicando una fuerza horizontal en el centro 0, se creará una fuerza de resistencia que puede ser determinada por las reacciones en los puntos de contacto. Con el uso de una geometría bastante engorrosa, Bélidor relacionó el valor de la fuerza tangencial requerida para mover una fila de esferas con respecto a la otra con la fuerza normal que presiona las dos filas, y deduce que para que una fuerza pueda superar la resistencia a la fricción, debe ser igual a f = 1/√8 ≈ 0,354, del peso de la semiesfera superior.

Este valor, resultado de una teoría que hoy puede parecernos muy ingenua, sin embargo, corresponde bastante bien a los valores del factor de fricción obtenidos con materiales comunes como madera, hierro, piedra frotando en seco en el aire. No solo proporciona valores realistas, sino que también tiene en cuenta el hecho de que el factor de fricción estático es generalmente un poco más fuerte que el factor de fricción dinámico: generalmente es más fácil mantener un movimiento que provocarlo.

Figura 36. Representación de Bélidor de superficies deslizantes

La teoría de Bélidor fue rápidamente cuestionada y Navier, quien volvió a publicar el trabajo de Bélidor en 1819, escribió en una nota a pie de página: “Los experimentos de Amontons, de los que acaba de hablar Bélidor, se encuentran en las Memorias de la Academia de Ciencias para 1699. El autor concluye que la resistencia resultante de la fricción es independiente del tamaño de las superficies en contacto, lo que luego se ha confirmado; que es casi lo mismo para la madera, el hierro, el cobre, el plomo, etc., cuando estas diversas sustancias se recubren con aceite viejo y alrededor de un tercio de la presión: veremos las rectificaciones a continuación de las cuales este último resultado es probable. No es necesario decir cuánto merece poca atención la suposición de semiesferas que erizan la superficie de los cuerpos, en la que Bélidor puede basar el resultado experimental de Amontons. Tampoco me detendré, para no sobrecargar estas notas con comentarios inútiles, en la demostración geométrica basada en esta hipótesis, demostración que es muy defectuosa.”

Es bastante fácil imaginar que para que la teoría de Bélidor tenga sentido, los átomos de las dos partes deben encajar, lo que es muy poco probable en los objetos cotidianos. Los átomos no sólo deben tener la misma organización a nivel de las dos superficies, lo que es difícilmente posible excepto con cristales perfectos, sino que también deben tener estructuras de la misma dimensión y convenientemente orientadas.

Con respecto a un cuerpo que se desliza sobre un plano inclinado, Bélidor determinó que comenzará a deslizarse cuando la inclinación haga con la horizontal un ángulo de 18°2’, que corresponde a BC:AC como 1:3 (Figura 37).

Figura 37. Cuerpo sobre un plano inclinado de Bélidor

Otros bocetos en la misma figura en el libro de Bélidor son representaciones de las investigaciones de Amontons. Además de la fricción de los cuerpos sólidos, Bélidor también investigó la fricción de una cuerda alrededor de una polea fija y la fricción en un cojinete (Figura 38), sobre las que hay pocas observaciones no muy explícitas pero interesantes. Si una cuerda subtiende una parte de la circunferencia, la fuerza estará relacionada con la presión como el radio con la longitud del arco, y cuando una cuerda da varias vueltas alrededor de una polea, la presión causada por la fuerza aumenta según una progresión geométrica.

Figura 38. Experimentos de Bélidor sobre fricción en cojinetes

La Fricción según Euler (c. 1748)

Unos 250 años después de da Vinci, Leonhard Euler hizo una contribución significativa al estudio y comprensión de la ley de fricción seca. Euler fue el primero en distinguir entre fricción estática y cinética. Estudió teóricamente el mecanismo del movimiento deslizante de un bloque sobre un plano inclinado. Adoptó el modelo de asperezas rígidas entrelazadas como la causa de la resistencia por fricción, considerando los experimentos de Leonardo del bloque deslizante sobre el plano inclinado.

Asumió que la fuerza de fricción resulta de las fuerzas gravitatorias, tratando de minimizar la energía potencial del bloque. Encontró la relación μ = tan α entre el ángulo de inclinación α y el coeficiente de fricción μ. Esta relación también se encuentra igualando la fuerza de fricción con la fuerza de aceleración:

Asumiendo un coeficiente de fricción independiente de la velocidad, encontró que para el ángulo crítico α la aceleración del bloque debería ser extremadamente pequeña, ya que la gravedad es casi compensada por la fricción cinética. Este resultado estaba en contra de los hechos experimentales, donde el deslizamiento comenzó relativamente rápido. Concluyó que hay que distinguir entre fricción estática y cinética y que la fricción estática siempre es mayor que la fricción cinética. Con estas suposiciones pudo describir el movimiento de un bloque en un plano inclinado.

Según Euler, la experiencia demuestra que la fuerza de rozamiento es siempre igual a una parte de la presión con la que se presiona el cuerpo contra el plano sobre el que se desliza. La fricción no depende ni del tamaño del área de contacto ni de la magnitud de la velocidad. El efecto de la fricción en una variedad de máquinas se puede calcular como una fuerza constante opuesta a la dirección de desplazamiento; se encuentra en el plano de contacto de los cuerpos que se deslizan unos sobre otros. Euler fue el primero en notar que la fricción inicial era superior a la fricción deslizante (Figura 32(c)). Esta es una discontinuidad del primer tipo en la dependencia de la fuerza sobre la velocidad a velocidad cero. Requiere concretización en el punto de ruptura de las condiciones de equilibrio del cuerpo.

Leonhard Euler descubrió en 1748 que hay que distinguir entre fricción estática y cinética, porque descubrió que no es posible causar un movimiento lento aumentando lentamente el ángulo de un plano inclinado (Figura 39). Estudió teóricamente el mecanismo del movimiento deslizante de un bloque en un plano inclinado. Adoptó el modelo de asperezas rígidas entrelazadas como causa de la resistencia por fricción. Concluyó que la fricción estática es siempre mayor que la cinética. Con estos supuestos pudo describir analíticamente el movimiento de un bloque en un plano inclinado. El modelo utilizado por Euler puede describirse como: un par de superficies rugosas en un patrón de dientes de sierra, que se entrelazan perfectamente. Para que un cuerpo se deslice sobre el otro, se requiere un movimiento oblicuo para superar las asperezas y se necesita una fuerza F.

Figura 39. Modelo de fricción de Euler

Leonard Euler (1707-1783), un matemático suizo que pasó toda su vida productiva en Rusia, hizo contribuciones significativas a la teoría de la fricción. Dos de sus famosas obras fueron publicadas bajo los auspicios de la Real Academia de Berlín, una sobre “Fricción de cuerpos sólidos” y la otra sobre “Disminución de la resistencia a la fricción”. Señaló que la fuerza de fricción siempre es tangente a la velocidad de deslizamiento, e indicó las condiciones del movimiento de aceleración constante con fricción para superficies planas e inclinadas. Fue el primero en derivar la relación matemática para la determinación de la fricción entre una cuerda y una polea. Su riguroso análisis, el razonamiento y la claridad le permitieron exponer muchos conceptos básicos que antes apenas habían sido tocados por Amontons, Parent y Bélidor.

Con el uso de la dinámica, Euler expresó el coeficiente de fricción para un cuerpo que se desliza sobre un plano inclinado con aceleración constante de la siguiente manera:

Aquí S es la distancia recorrida en el tiempo t en un plano inclinado en un ángulo α con respecto a la horizontal, y g es la gravedad. Todos los parámetros contenidos en esta expresión se pueden determinar experimentalmente. Es interesante notar que para la derivación de esta expresión Euler usó la ley de Amontons en la forma matemática de F = M. Al derivar su famosa expresión para la fricción de un alambre elástico contra un cilindro estacionario, Figura 40, usó nuevamente la ley de Amontons y aislando un elemento del cilindro y el alambre tensado obtenido

Figura 40. Esquemas de la derivación de las fórmulas de Euler para la fricción seca

Continúa en la quinta parte …

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2022

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