L'essai de 1773 sur la statique - 1a parte
Por: Santiago Osorio R.
Primera parte de la quinta entrega de la serie 'DU PLAN INCLINÉ À LA THÉORIE DU COIN DES TERRES' (Del plano inclinado a la teoría de la cuña de suelo), una visión detallada del aporte de Charles Augustin Coulomb a la consolidación de
la teoría clásica de la mecánica de suelos. Octubre 5 de 2021.
En este capítulo se presenta un breve análisis técnico del documento leído
por Coulomb ante la Académie des Sciences de Francia en 1773, “Essai sur une application des règles de maximis et minimis à quelques
problèmes de statique, relatifs à l’architecture” conocido en la Mecánica como la ‘Mémoir’, y su esencial aporte a
la Mecánica de Suelos Clásica, pues la
teoría de la presión de tierra y la “Ecuación de Coulomb” son
los principios fundamentales de los textos modernos de ingeniería en
mecánica de suelos.
Coulomb contaba treinta y seis años cuando entregó su Mémoir sobre
Estática en 1773 a la Academia de Ciencias de París habiendo trabajado
como ingeniero militar durante doce años desde 1761. Exceptuando las
breves notas que leyó a la Société royale des sciences en
Montpellier en 1757, fue la primera memoria científica o técnica que
presentó públicamente.
Como en todas sus memorias, Coulomb dio en el ‘Essai’ de 1773, una lúcida introducción, describiendo los diversos puntos que
consideraría, y en un aparte anotó:
“…
Esta Memoria está diseñada para determinar, tanto como lo permita una
combinación de matemática y física, la influencia de la fricción y la
cohesión en algunos problemas de estática …”
Por el trascendental impacto de sus estudios, Coulomb fue posteriormente
considerado como uno de los grandes ingenieros teóricos en Francia y de
hecho en la Europa del siglo XVIII adoptando un método en ingeniería que
fusionaría la
mecánica racional con
la
física experimental en
una nueva formulación y maduración de las disciplinas físicas “empíricas”.
La Memoria Sobre Estática de 1773 y la Ingeniería Civil en el Siglo XVIII
Tras una primera lectura, la Memoria sobre Estática de Coulomb de 1773
(publicada en 1776 en 'Mémoires des Savants Etrangers') parece ser bastante diferente en composición y propósito
de sus posteriores memorias de física. En cierto modo, la impresión es
correcta, pero esto no implica una transformación en su método de
investigación. Más bien, demuestra los diferentes propósitos para los cuales
se escribieron las memorias y la alteración de su propio estatus
profesional. Si se compara este trabajo de 1773 con una de sus memorias
sobre la electricidad de la década de 1780, la primera parece escasa,
teórica y de carácter menos específico. A diferencia de muchos autores del
siglo XVIII, Coulomb nunca escribió una memoria a menos que tuviera un
conocimiento directo del tema. Tampoco escribió una memoria estrictamente
teórica, si con esto se entiende una memoria producida en forma cartesiana o
en matemática pura. Cada una de sus contribuciones se basó en una larga
experimentación o una larga experiencia física. La Memoria sobre Estática se
basa en años de experiencia en ingeniería militar, pero a diferencia de los
trabajos posteriores, esta contiene pocos datos experimentales. Los
principios se exponen, pero no están respaldados por pruebas físicas
abrumadoras. Al final, se debe comprender que este era un modelo del tipo de
ensayo que uno presentaría a la Academia de Ciencias para solicitar la
membresía.
La Memoria sobre Estática, a pesar de sus contribuciones a la elasticidad y
resistencia de los materiales, fue diseñada como una contribución a la
ingeniería civil del siglo XVIII. Fue un llamado a utilizar el nuevo método
de “melange du calcul et de la physique” (“…mezcla del cálculo y de la
física o combinación de matemática y física…”) en el trabajo de ingeniería.
Mostró las ventajas del cálculo al proporcionar soluciones generales para
problemas de ingeniería particulares y abrió el camino para un tratamiento
similar de problemas específicos. Coulomb no estaba demostrando una teoría
en ella, simplemente estaba exponiendo principios de investigación. Con unas
constantes de cohesión y fricción de suelos y materiales conocidas solo en
un grado aproximado, Coulomb estaba preocupado por las soluciones a los
tipos de problemas de ingeniería y no estaba tratando de dar pruebas
numéricas exactas. En sus memorias sobre electricidad y magnetismo, se puede
encontrar que Coulomb introdujo nuevos medios experimentales para demostrar
un problema exactamente cuantitativo, la determinación precisa de las leyes
de fuerza magnética y electrostática. La importancia de las memorias
posteriores a la de 1773 se basa en su precisión y en el hermoso trabajo
experimental de Coulomb. Sin embargo, no se puede decir que la Memoria sobre
Estática y su trabajo posterior fueron diferentes en método; diferían en su
propósito.
Desde 1800 hasta aproximadamente 1833, la mayoría de los constructores de
puentes europeos utilizaron su teoría de diseño y evaluación de arcos.
Fueron sus consideraciones al estudiar la línea neutra en la ruptura de
vigas y la resistencia de los materiales, las que se utilizaron a principios
del siglo XIX. Después de todo, no sorprende saber que gran parte de estas
memorias permanecieron sin usarse durante cuarenta años. Se requirió que ese
grupo de Polytechniciens (profesores y estudiantes de L’École Polytechnique,
la escuela de ingeniería dirigida por Gaspard Monge (1746-1818), que
reemplazó las del antiguo régimen, después de la Revolución Francesa),
apreciara la importancia de este trabajo en el contexto de la nueva
ingeniería mecánica.
Referencias Bibliográficas del 'Essai' de Coulomb
Las principales referencias bibliográficas de Coulomb, mencionadas en su
‘Essai’, fueron las siguientes (estas referencias son discutidas en detalle
en el libro de Jacques Heyman de 1972 y para resaltar la importancia de su
Mémoir, algunos de sus principales aspectos serán revisados en la presente entrega):
- DAVIDIS GREGORII, Catenaria, Philosophical Transactions of the Royal Society 19, 231: 637-652 (1697).
- GUILLAUME AMONTONS, De la résistance causeé dans les machines, tant par les frottemens des parties qui les composent, que par la roideur des cordes qu'on y employe, et la maniere de calculer l'un et l'autre, Histoire de l’Académie Royale des Sciences 1699, 206, Paris (1702).
- CHARLES BOSSUT & GUILLAUME VIALLET, Recherches sur la construction la plus avantageuse des digues, Paris (1764).
- PIERRE VAN MUSSCHENBROEK, Essai de Physique, translated From the Dutch by Pierre Massuet, Leyden (1739).
- LEONHARDO EULERO, Solutio problematis de invenienda curva, quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentiis quibuscunque sollicitata, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 1728, 3, 70, Petersburg (1732).
- JAMES BERNOULLI, Opera (2 vols.), Geneva (1744).
- PHILIPPE DE LA HIRE, Traité de Mécanique, Paris (1695).
- PHILIPPE DE LA HIRE, Sur la construction des voutes dans les édifices, Mémoires de l’Académie Royale des Sciences 1712, 69, Paris (1731).
- BERNARD FOREST DE BELIDOR, La science des ingénieurs dans la conduite des travaux de fortification et d'architecture civile, Paris (1729).
- SEBASTIEN LE PRESTRE DE VAUBAN, Traité de l'attaque des places, Paris (1704); Traité de la défense des places, Paris (1706).
La Catenaria
Una curva es una línea continua, de una dimensión, que varía de dirección
paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la
circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la
catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito. La
circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola, hacen parte de la
familia de curvas cónicas (Figura 1).
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Figura 1. Curvas cónicas |
Supongamos un elemento lineal perfectamente flexible, con masa
equidistribuida a lo largo de su longitud (por ejemplo, una cuerda, un cable
o una cadena), y sostengamos dicho elemento lineal solo por sus dos
extremos. Como cualquier otro cuerpo, al verse sometido a la fuerza de la
gravedad este adopta la forma de una curva concreta. En la literatura
científica esta curva se ha denominado catenaria, nombre proveniente del
latín catena (cadena).
A lo largo de la historia, los matemáticos se
mostraron fascinados por la forma que adoptaba una cuerda o una cadena que
se deformaba bajo su propio peso e intentaron descubrir cuál era la curva
que la describía. En los cuadernos de notas de Leonardo da Vinci se pueden
encontrar esquemas de cadenas colgando (Figura 2).
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| Figura 2. Dibujo de la Catenaria de Da Vinci |
La prueba de que la resolución del problema no era nada fácil se tiene en
que un hombre de la talla intelectual de Galileo Galilei (1564-1642) erró en
su solución puesto que en 1638 publicó, en sus Diálogos sobre dos nuevas
ciencias (G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due
nuove scienze, Leiden, 1638), que la cadena asumiría la forma de una
parábola (ver Figura 5(c)). Cierto que cuando realizó los experimentos que
le llevaron a tal conclusión, el 'sabio de Pisa' tenía ya 74 años y se
encontraba casi ciego. Galileo se limitó a aceptar aquello que era
comúnmente admitido en la comunidad científica, sin hacer justificaciones
rigurosas. Además, al ver una cuerda sujeta por sus dos extremos la
intuición parece engañarnos y, efectivamente, esta se asemeja bastante a la
forma de una parábola. Sin embargo, hoy sabemos que, aunque el trazado de la
parábola se asemeja mucho al trazado de la catenaria, ambas curvas son
diferentes pues mientras la parábola está descrita por una ecuación
cuadrática, en la expresión de la catenaria se involucran funciones
hiperbólicas (Figura 3).
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| Figura 3. Ecuación de la catenaria |
En 1669 el matemático alemán Joachim Jungius (1587-1657) fue capaz de
demostrar que una cadena colgante no adoptaba una forma de parábola, pero
fue necesario que pasara casi medio siglo tras la muerte de Galileo, en
1642, para encontrar la solución verdadera.
En 1690 el suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) propuso un desafío en la
prestigiosa revista Acta Eruditorum: descubrir la fórmula matemática que
definiera la verdadera forma de la curva de la cadena colgante. La respuesta
no tardó en llegar y, en 1691 la ecuación fue obtenida, de forma
independiente y simultánea, por su hermano menor Johann Bernoulli
(1667-1748), con el que tenía gran rivalidad, y por Gottfried Leibniz
(1646-1716) y Chistiaan Huygens (1629-1695). Ellos obtuvieron una expresión
analítica que servía para describir geométricamente a la catenaria y
publicaron sus soluciones en esa misma revista (Figura 4). El interés de
Johann Bernoulli por este problema surgió después de una disputa con su
hermano mayor Jakob, que había dedicado varios años y muchos esfuerzos a
intentar demostrar que era una parábola. Johann, presuntamente con la única
intención de burlarse de Jakob, demostró en una noche que la catenaria no se
correspondía con una parábola (ver Figura 5(c)).
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| Figura 4. Soluciones remitidas por Leibniz y Huygens a Bernouille para su publicación en Acta Eruditorum (1691) |
Fue también durante el transcurso de estas investigaciones cuando Huygens
emplea por primera vez el término 'catenaria' para designar a esta familia de
curvas en una carta dirigida a Leibnitz. Este término que deriva del latín
catena, cuyo significado es cadena, se ha impuesto a otros sinónimos como
curva funicular o chainette.
Es curioso reseñar que, como se puede deducir del examen de su
correspondencia con el sacerdote Marin Mersenne (1588-1648), un jovencísimo
Huygens, ya había mostrado interés en el problema de la forma que adoptaba
la cadena colgante, pero, en ese momento, con sólo 17 años, fue incapaz de
resolverlo, aunque sí pudo solucionar un problema relacionado: ¿cómo se
deben colgar pesos en la cuerda para que adquiriera una forma parabólica?
(Figura 5).
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| Figura 5. Problema de Huygens sobre la parábola y la catenaria |
En el mismo año en que el problema fue resuelto, 1691, el matemático y
astrónomo escocés David Gregory (1659-1708) escribió, uno de los primeros
tratados sobre esta familia de curvas y más tarde, en 1744, el suizo
Leonhard Euler (1707-1783) demostró que la catenaria es la curva que, rotada
sobre el eje x produce una forma tridimensional que fue tras el plano, la
primera superficie mínima descubierta, el catenoide.
La catenaria, al ser una curva que se comba bajo su propio peso, tiene la
característica de ser el lugar geométrico de los puntos donde los esfuerzos
horizontales de la cadena se compensan, careciendo por ello de esfuerzos
laterales, por lo que la cadena permanece inmóvil sin desplazarse hacia los
lados. Las fuerzas que actúan son una fuerza vertical, la de la gravedad, y
un esfuerzo tangente a la cadena en cada punto, gracias al cual se mantiene
estirada (ver Figuras 3 y 5).
El Arco Catenario
Es el arco que reproduce exactamente la morfología de una curva catenaria
invertida. Todas las características matemáticas de la catenaria se
conservan cuando su gráfica se invierte. El arco catenario es la forma ideal
para el arco que se soporta a sí mismo. Cuando está construido de elementos
individuales cuyas superficies son perpendiculares a la curva del arco, no
existen esfuerzos de cizalla significativos en las uniones y el empuje al
apoyo se transmite a lo largo de la línea del arco.
Además, para arcos catenarios de igual longitud, cuando mayor es la altura,
más pequeño es el empuje horizontal en los puntos de arranque, con lo que se
pueden obtener grandes alturas con mínimos empujes laterales.
Del arco catenario se derivan los arcos funiculares (Figura 6) que tienen
también óptimas características constructivas y que se pueden obtener con
facilidad reproduciendo (invertidos) los efectos de cargas puntuales sobre
una curva catenaria.
El arco funicular es el arco compuesto de tal manera que, al ser sometido a
una carga dada, sólo se desarrollan compresiones axiales; su forma variará
si la carga vertical que soporta está distribuida uniformemente a lo largo
del eje del arco, generando una catenaria invertida, o está distribuida
según su proyección horizontal, dando como resultado una parábola.
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| Figura 6. Arco catenario funicular |
En la antigüedad, sobre todo en Oriente, se construyeron intuitivamente
arcos estables con la curvatura de catenarias invertidas. Sin embargo, la
cultura occidental, desde Grecia y Roma, diseñó sus arcos y bóvedas a partir
curvaturas menos eficientes derivadas del círculo, más fáciles de construir,
pero menos estables. De hecho, durante toda la edad media y el Renacimiento,
la catenaria invertida no fue empleada en Europa, aunque podría considerarse
al arco gótico como una afortunada aproximación fortuita (Figura 7).
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| Figura 7. Tipos de arco gótico |
El abordaje científico del problema no se produjo hasta bien entrado el
siglo XVII, cuando sobre 1670 el científico inglés Robert Hooke (1635-1703)
planteó en la Royal Society de Londres el problema de ¿cuál sería la forma
ideal de un arco? Él mismo dijo haberlo resuelto en 1671 pero no dio
detalles al respecto hasta el año 1675, cuando ofrece la solución encriptada
mediante un anagrama en un apéndice de su Description of Helioscopes de 1676
(Figura 8). Sin embargo, nunca llegó a revelar en vida la solución del mismo
y sólo después de su muerte fue desvelado por su albacea en 1705: “Ut pendet
continuun flexile, sic stabit contiguum rigidum inversum”, ‘igual que cuelga
un hilo flexible pero invertido se sostendrá un arco rígido’.
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| Figura 8. Anagrama de Robert Hooke |
La idea de Hooke de 1671, de entender el comportamiento de los arcos por
analogía con el comportamiento de los cables colgantes es una de las más
geniales de la historia de la ingeniería estructural (Figuras 6 y 9). Casi
tres décadas después, en 1697, David Gregory añadió un interesante matiz. La
forma ideal de un arco sería en efecto la de una catenaria invertida y si el
resto de arcos se sostienen es porque hay una catenaria en su interior
(Figura 10). Este concepto permite calcular arcos utilizando modelos
colgantes sencillos y fue aplicado por los ingenieros ingleses del siglo
XVIII en la construcción de puentes y recogido por el científico inglés
Thomas Young (1773-1829) en 1807 en su Course of lectures on natural
philosophy and the mechanical arts. En Europa continental tuvo menos
difusión, aunque se cita en tratados de varios autores franceses y
alemanes.
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| Figura 9. (a) Catenaria invertida de Robert Hooke. (b) Analogía del comportamiento estructural de un arco |
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| Figura 10. Ilustración de que todo arco se sostiene si y solo si contiene a un arco catenario en su interior |
Al igual que en la catenaria, el esfuerzo que padece cada punto del arco se
reparte entre una componente vertical y una componente de presión que se
transmite a través del propio arco catenario hacia los cimientos, sin que se
creen esfuerzos horizontales, salvo en el extremo llegando ya a los
cimientos. Es esta propiedad la que hace que los arcos catenarios no
necesiten apoyos laterales para sustentarse. Sin embargo, la cultura
occidental, desde Roma, diseñó sus arcos y bóvedas a partir curvaturas menos
eficientes derivadas del círculo, más fáciles de construir, pero menos
estables, y durante toda la edad media y el renacimiento la catenaria
invertida fue olvidada en Europa pese a que los arcos de medio punto del
Románico tendían a abrirse por lo que eran necesarios grandes muros de
contención que los sostuvieran para evitar que se agrietaran (Figura 11). Ni
siquiera los arquitectos del Gótico consiguieron dar con la forma adecuada
de transmitir los esfuerzos laterales y pese a que los arcos ojivales fueron
una afortunada aproximación a la forma de la catenaria, aún era necesario el
empleo de robustos arbotantes para que absorbieran las fuerzas horizontales
y las trasladasen hacia los cimientos.
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| Figura 11. Mecanismo de colapso de arcos circulares |
Arquitectónicamente, un arco de catenaria tiene la capacidad de soportar el
peso del material con el que está construido, sin colapsar. Para un arco
de densidad y espesor uniformes, que soporta solo su propio peso, la
catenaria es la curva ideal.
Los arcos de catenaria son fuertes porque redirigen la fuerza vertical de
la gravedad en fuerzas de compresión a lo largo de la curva del arco. En un
arco de catenaria cargado uniformemente, la línea de empujes pasa por su
centro (Figura 12).
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| Figura 12. Esfuerzos en la catenaria (izquierda) y en el arco catenario (derecha) |
Este principio se ha empleado arquitectónicamente para crear estructuras
arqueadas que siguen exactamente, y de una manera visiblemente aparente, la
forma de una catenaria invertida. Un ejemplo temprano significativo de esto
es el arco de Taq-i Kisra (Irak) (Figura 13). La catenaria, girada 180°
forma la estructura de un edificio abovedado simple como las casas colmena
de la Península de Dingle, en Irlanda.
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| Figura 13. Arco catenario de Taq-i Kisra (año 540 d.C.) |
El principio de la catenaria es también el factor subyacente en los
sistemas arquitectónicos mucho más complejos de la arquitectura medieval y
renacentista. Los edificios que tienen techos pesados con forma de arco y
generan un fuerte empuje hacia afuera deben cumplir con la forma de la curva
catenaria para no colapsar. Esto no implica que los propios arcos tengan
forma de catenaria, sino que el sistema total de muros o contrafuertes que
soportan el techo o cúpula contiene una curva catenaria, que entrega el
empuje hacia abajo.
En el siglo XV, Filippo Brunelleschi diseñó la cúpula gótica octogonal de
la Catedral de Santa María del Fiore de una manera que utilizaba el
principio del arco catenario (Figura 14). En el siglo XVII, Christopher Wren
diseñó la cúpula de Catedral de San Pablo de Londres basándose directamente
en una curva de catenaria. Se ha descubierto que el techo abovedado y los
contrafuertes de la Capilla del King's College de Cambridge, cumplen con la
fórmula del arco de catenaria.
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Figura 14. Catedrales con arco catenario |
Referencias
Fernández, A. (2020). La catenaria y su influencia en la arquitectura
de Gaudí. Gaceta de la RSME, Vol. 23 (2020), Núm. 2, Págs. 303–323:
303
Gillmor, C. S. (1968). “Charles Augustin Coulomb: Physics and Engineering
in Eighteenth-Century France,” PhD dissertation, University of
Princeton.
Gillmor, C. S. (1971). Coulomb and the Evolution of Physics and
Engineering in Eighteenth-Century France, Princeton University Press,
Princeton, New Jersey, U.S.A.
Heyman, J. (1972). Coulomb's Memoirs on Statics: An Essay in the History
of Civil Engineering. Cambridge, U.K.
Hourani, N. M (1996). In the Footsteps of Giants: The History of the
Founders of Earth Pressure Theory From the 17th Century to the Late 19th
Century. Civil Engineering Practice. Fall/Winter. 1996.
Timoshenko, S.P. (1953). History of Strength of Materials. McGraw-Hill,
New York.
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https://es.wikipedia.org/wiki/Arco_catenario
https://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria
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https://es.wikipedia.org/wiki/Taq-i_Kisra
https://funci.org/tecnicas de memoria del imperio sasanida/
http://ortogonalidad.blogspot.com/2018/02/curvas conicas.html
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https://wiki.ead.pucv.cl/Archivo:Arco catenario funicular.png
https://www.e-zigurat.com/blog/es/cupula santa maria del fiore cumple seis siglos/
https://www.pinterest.es/eduardopesquera/brunelleschi-filippo/
https://www.facebook.com/114377552033971/posts/468158393322550/
https://www.parro.com.ar/definicion de arco funicular
https://www.explore-stpauls.net/oct03/textMM/WrensTombN.htm
http://www.rareoldprints.com/p/16218
Osorio, S. (2021). L'essai de 1773 sur la statique - 1a parte. Relatos de la
Geotecnia. Blogger.com. geotecnia-sor2.blogspot.com. https://geotecnia-sor2.blogspot.com/2021/10/lessai-de-1773-sur-la-statique.html
Relatos de la Geotecnia
+ Apuntes de Geotecnia con Énfasis en Laderas
Ir a:
1 - Martinique, Antilles - France Février 1764 (Martinica, Antillas - Francia , febrero de 1764)
2 - Angoulême, province d'Angoumois - France 14 juin 1736 (Angoulême, provincia de Angumois - Francia, 14 de junio de 1736)
3 - Mézières, département des Ardennes - France 11 février 1760 (Mézières, departamento de Ardennes - Francia, 11 de febrero de 1760)
4 - Paris - France 10 mars 1773 (París - Francia, 10 de marzo de 1773)
6 - L'essai de 1773 sur la statique - 2a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 2a Parte)
7 - L'essai de 1773 sur la statique - 3a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 3a Parte)
8 - L'essai de 1773 sur la statique - 4a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 4a Parte)
9 - L'essai de 1773 sur la statique - 5a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 5a Parte)
10 - L'essai de 1773 sur la statique - 6a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 6a Parte)
11 - L'essai de 1773 sur la statique - 7a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 7a Parte)
12 - L'essai de 1773 sur la statique - 8a parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 8a Parte)
13 - La vie de Coulomb après l’Essai de 1773 (La vida de Coulomb posterior al 'Essai' de 1773)Apéndice A - Fuerte Bourbon (1765-1772)
Apéndice C - La Estática de las Siete Máquinas Simples
Apéndice D - La Statique (La Estática)
Apéndice E - Mécanique Classique (Mecánica Clásica)
Apéndice F - De la résistance des matériaux (De la Resistencia de Materiales)
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