Por : Santiago Osorio R.
De la résistance des matériaux (De la resistencia de materiales) es el Apéndice F de la serie ‘DU PLAN INCLINÉ À LA THÉORIE DU COIN DES TERRES’ (Del plano inclinado a la teoría de la cuña de suelo),
una visión detallada del aporte de Charles Augustin Coulomb a la consolidación de la
teoría clásica de la mecánica de suelos. Octubre 24 de 2021.
Este apéndice describe de manera general y breve el desarrollo histórico de
la Resistencia de Materiales hasta Charles Augustin Coulomb precisando algunos aspectos
de importancia e interés.
Las antiguas construcciones, cuya edificación y resistencia se basó en el
conocimiento empírico acumulado por siglos, requerían cuantiosas inversiones
de recursos y de tiempo. Una vez se fueron generalizando tales obras, se
pasó a la economía en los costos, por lo que se desarrollaron teorías para
mejorar la técnica, los procedimientos y el uso eficiente y seguro de los
materiales de construcción. Leonardo da Vinci y Galileo Galilei realizaron
experimentos para determinar la resistencia de barras, vigas y alambres, sin
embargo, no desarrollaron teorías adecuadas para dar explicación a los
resultados obtenidos. A finales de XVI, Galilei empezó a trabajar con
problemas de resistencia de materiales y a efectuar los primeros ensayos
conocidos de tracción y de flexión. En 1678, Robert Hooke enuncia la ley de
proporcionalidad de deformaciones y fuerzas. Mariotte y Bernoulli estudian
la flexión plana. Leonhard Euler concibió la teoría matemática de las
columnas y calculó, en 1744, la carga crítica de una columna, mucho antes de
que existieran pruebas experimentales que demostraran la importancia de los
resultados que obtuvo. Sin las pruebas adecuadas que respaldaran teoría, los
resultados de Euler permanecieron sin aplicación durante más de 100 años,
aunque hoy son la base de diseño y el análisis de la mayor parte de las
columnas.
En el siglo XVIII Parent y luego Coulomb, proporcionaron una teoría correcta
de la flexión simple, mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio
a una región aislada de la viga. Uno de los mayores contribuyentes a la
resistencia de materiales fue el ingeniero francés Claude-Louis Henri
Navier, con su libro publicado en 1826, en el cual se trabaja en el límite
en el que las estructuras se comportan de manera elástica.
La resistencia de materiales como cuerpo de doctrina toma forma a principios
del siglo XIX. Se desarrolló rápidamente gracias al trabajo de los
ingenieros, matemáticos y físicos del siglo pasado, al mismo tiempo que las
teorías de la elasticidad. El progreso en la resistencia de los materiales
no puede discutirse satisfactoriamente sin considerar el desarrollo de las
ciencias adyacentes, como la teoría de la elasticidad y la teoría de las
estructuras. Existe una estrecha interrelación en el desarrollo de esas
ciencias.
La resistencia de materiales, también llamada mecánica de materiales, se
ocupa del comportamiento de los objetos sólidos sujetos a esfuerzos (stress)
y deformaciones (strain). La teoría completa comenzó con la consideración
del comportamiento de los miembros de estructuras en una y dos dimensiones,
cuyos estados de esfuerzos pueden aproximarse como bidimensionales, y luego
se generalizó a tres dimensiones para desarrollar una teoría más completa
del comportamiento elástico y plástico de materiales.
En la mecánica de materiales, la resistencia de un material es su capacidad
para soportar una carga aplicada sin falla o deformación plástica. El campo
de resistencia de los materiales se ocupa de las fuerzas y deformaciones que
resultan de su acción sobre un material. Una carga aplicada a un miembro
mecánico inducirá fuerzas internas dentro del miembro llamadas esfuerzos o
tensiones cuando esas fuerzas se expresan en unidades. Los esfuerzos que
actúan sobre el material causan deformación del material de varias maneras,
incluso rompiéndolo por completo. La distorsión del material se llama
deformación (strain) cuando esas deformaciones también se expresan en
unidades. Las cargas aplicadas pueden ser axiales (de tracción o compresión)
o rotacionales (resistencia al corte o cizallamiento). Los esfuerzos y
deformaciones que se desarrollan dentro de un miembro mecánico deben
calcularse para evaluar la capacidad de carga de ese miembro. Esto requiere
una descripción completa de la geometría del miembro, sus restricciones, las
cargas aplicadas al miembro y las propiedades del material del que está
compuesto el miembro. Con una descripción completa de la carga y la
geometría del miembro, se puede calcular el estado de esfuerzos y el estado
de deformaciones en cualquier punto dentro del miembro.
Una vez que se conoce el estado de esfuerzos y deformación dentro del
miembro, se puede calcular la resistencia (capacidad de carga) de ese
miembro, sus deformaciones (cualidades de rigidez) y su estabilidad
(capacidad para mantener su configuración original). Los esfuerzos
calculados pueden entonces compararse con alguna medida de la resistencia
del miembro, como el punto de fluencia del material (material yield) o
resistencia final. La deflexión (o desplazamiento) calculada del miembro
puede compararse con un criterio de deflexión que se basa en el uso del
miembro. La carga de pandeo (buckling) calculada del miembro puede
compararse con la carga aplicada. La rigidez calculada y la distribución de
masa del miembro pueden usarse para calcular la respuesta dinámica del
miembro y luego compararse con el entorno acústico en el que se usará. La
resistencia del material se refiere al punto en la curva de ingeniería de
esfuerzo-deformación (esfuerzo de fluencia) más allá del cual el material
experimenta deformaciones que no se revertirán completamente al retirar la
carga y, como resultado, el miembro tendrá una deflexión permanente. La
resistencia máxima del material se refiere al valor máximo de esfuerzo
alcanzado. La resistencia a la falla o fractura es el valor del esfuerzo en
la falla (el último valor de tensión registrado).
La mecánica de los cuerpos deformables se ocupa de los esfuerzos y las
deformaciones producidas en los cuerpos por acciones externas. En sus
aspectos prácticos, el tema aborda cuestiones tales como la fuerza que puede
soportar un cuerpo sin colapsar; qué tan fuera de forma se deformará el
cuerpo por la acción de las fuerzas prescritas; ¿Cuál es la forma más
eficiente del cuerpo para resistir las fuerzas? Las respuestas a estas y
otras preguntas relacionadas son necesarias en todas las fases de una
sociedad técnicamente avanzada. Todos los días son numerosos los ejemplos de
la aplicación del análisis de esfuerzos. Los puentes y edificios son
ejemplos, al igual que las máquinas, los aviones, los misiles, etc. En
resumen, cualquier cuerpo sólido cuyo peso, resistencia o deformación sea un
elemento a considerar debe estudiarse desde el punto de vista del análisis
de tensiones. En sus aspectos teóricos, el tema se ocupa de investigar las
ecuaciones diferenciales y sus soluciones, que describen los estados de
esfuerzo y deformación en cuerpos de diferentes formas y materiales bajo las
acciones de varios agentes externos.
Génesis
Sería inútil indagar sobre el origen prehistórico de las teorías sobre la
constitución íntima de los cuerpos; evidentemente esta investigación, de
pura filosofía especulativa, sólo pudo tener éxito cuando el hombre ya
hubiera adquirido las condiciones de ocio y bienestar, indispensables para
la contemplación, observación, agrupación y clasificación de los fenómenos
observados y, finalmente, para las inducciones y deducciones. Estas
condiciones solo comenzaron después del descubrimiento del fuego, y después
de que el hombre logró domesticar los animales necesarios para ayudarlo en
la caza y en el trabajo pastoral; es decir, exactamente, cuando comienzan la
Tradición y la Leyenda, predecesoras naturales de la Historia.
El descubrimiento del fuego tuvo una influencia invaluable en el desarrollo
progresivo de la humanidad. Los pueblos primitivos comprendieron la grandeza
del beneficio recibido y, en su ingenua gratitud, divinizaron a los
inventores de los procesos de obtención del fuego. Así se tienen los nombres
de Agni, quien enseñó a la raza a hacer fuego, quien descendió de la meseta
de Cachemira para poblar las cuencas del Indo y el Ganges; de Behram, que
hizo el mismo regalo a la raza, como de la vertiente sur del Cáucaso,
encabezó la cuenca del Éufrates; de Phtah, a quien los agradecidos egipcios
permitieron la fundación de una larga dinastía de reyes, y consagraron,
durante siglos, edificios dorados; y de Tezcalipoca, adorado, por los
toltecas y aztecas del México primitivo, desde las alturas de sus Teocallis,
desde la antigüedad, hasta la conquista española.
La invención del fuego y la suma de bienestar que se originó en él, habían
permitido al hombre hacer sus primeras observaciones sobre la naturaleza de
los cuerpos. Sólo entonces pudo reconocer que había cuerpos combustibles y
cuerpos no combustibles; cuerpos fusibles y cuerpos infusibles. Entre los
cuerpos combustibles, distinguió luego los de encendido rápido y los que
apenas son inflamables; La scentella, obtenida por percusión de pedernal
contra pedernal; de pedernal contra un trozo de pirita marcial o cualquier
otro mineral de hierro duro; de bambú contra bambú; siempre se recibía en
sustancia fácilmente inflamable, en hojas secas, en fibras vegetales
carbonizadas, en tejidos celulares sueltos, y luego se comunicaba con carbón
vegetal y leña. La observación de los efectos del fuego sobre la arcilla
pronto se utilizó para realizar innumerables objetos ornamentales, porque
pronto la vanidad entró en acción, y de verdadera utilidad, y más tarde,
para ladrillos y para utensilios domésticos, o empleo en los cultos de la
familia y religión.
El trabajo de los metales comenzó mucho después del conocimiento del fuego.
Parece que el oro fue el primer metal que llamó la atención del hombre
primitivo: es el primero que menciona Moisés en el Génesis. El oro solo se
derrite a una temperatura de alrededor de 1250°F (677°C); una temperatura
que solo puede obtenerse de una corriente de aire, producida por algún medio
artificial. Excepto en Cuzco y en otras ciudades del Perú, el oro rara vez
se usaba fuera de la ornamentación; para la raza aria los primeros objetivos
utilizados fueron el estaño, que se funde a 228°C y el cobre, que requiere
alrededor de 1100°C; para ciertas tribus de África, sin embargo, ahora está
bien establecido que comenzaron con el hierro. El primero, que pudo observar
que la mezcla de cobre y estaño se funde mucho antes que el cobre solo y
produce una aleación superior a cualquiera de los primeros objetivos para
los usos de la paz y la guerra: este fue el verdadero patriarca de la Edad
de Bronce. El plomo, que requiere de poco más calor que el estaño para
fundirse, cerca de los 228°C, pronto también se utilizó para innumerables
trabajos, especialmente para la especialidad de tuberías de agua. Fusionando
el estaño y el plomo, sin duda observaron que, enfriados sobre una
superficie seca, polvorienta, sobre arena o tierra, elevándose desde una
gran altura, se dividían en gotas o corpúsculos esferoides.
Quizás fue esta observación la que sugirió la primera idea de ser la masa de
cuerpos sólidos, constituida por la agregación de un número innumerable de
partes de muy pequeñas dimensiones, que luego tuvieron que ser nombradas -
atomoi - átomos - por la filosofía griega. La filosofía griega, como su
Arquitectura y su Civilización en general, están afiliadas a la de la
prodigiosa cuenca del Nilo. Es innegable que Cecrops, el fundador de la
propia Atenas, era nativo de Saias, en el Bajo Egipto. Pero la civilización
egipcia, cruzando el Mediterráneo, llevó a cabo una evolución radical;
abandonó todos sus personajes místicos y teocráticos, y se enamoró de la
publicidad y la discusión; dejó las criptas oscuras de los speos de Thebas y
Menfis por la gran luz de los pórticos de Atenas; Phtah se transformó en
Prometheus; el fuego, que sólo daba bienestar, se convirtió en un rayo
revolucionario, iluminando el futuro, batiendo las tinieblas del pasado y
quemando todo lo viejo y obsoleto, absurdo, ridículo e imposible.
Los documentos litoglíficos nunca podrán revelar a los egiptólogos lo que se
enseñó en los misteriosos templos de Luxor, Karnak y Sakkarah sobre la
constitución íntima de los cuerpos; mientras se posee todo el largo y
apasionado debate sobre la continuidad o discontinuidad de la materia, que
comenzó en la Escuela Eleática, atravesó todo el período de la Grecia libre
y continuó con sus conquistadores romanos. Es muy posible que las teorías,
enteramente místicas y panteístas, enseñadas por la Escuela Eleática sobre
la constitución íntima del corpus, fueran más o menos las que adoctrinaron
los sacerdotes egipcios; de hecho, Jenófane, el verdadero fundador de la
Escuela de Eleas, en la Gran Grecia, al sur y no lejos de Parthenope, la
actual Nápoles, era un natural de Colofón, en Lidia, en Asia Menor. En su
largo peregrinaje por el Mediterráneo, el Rhapsode philosopho ciertamente
visitó Egipto, el gran foco científico e industrial de la época, y es
probable que aprendiera mucho de lo que luego trasladó a sus discípulos
allí. Fueron Leucippo y, sobre todo, su discípulo Demócrito, los más
enérgicos oponentes de los cerebros y teorías imposibles de la Escuela
Eleática; se le debe al filósofo practicante la creación de la palabra
átomo, de tanto uso en la química actual. La palabra Átomo estaba
predestinada para dar nombre a Escuelas y Teorías; en efecto, la Escuela,
creada por Leucippo y Democrito, y que alcanzó su apogeo con Epicurius, se
llamó Escuela Atomista, en oposición a la Escuela Metafísica de Eleas; de la
misma manera que actualmente llamamos Teoría Atomista a la que supera a las
equivalentes. Los romanos no agregaron casi nada a las obras filosóficas de
los griegos sobre la constitución íntima de los cuerpos; sólo es digno de
mención el poeta Lucrecio, que se atrevió a reproducir en verso las
doctrinas de Teoría Atomista.
La Edad Media es un oscurantismo completo o una repetición del Epicuro de
Aristóteles, Platón y otros filósofos griegos. Es necesario llegar al gran
René Descartes, que nació en 1596, en Lahaye, en Touraine, para encontrar
nuevas ideas y argumentos sobre la constitución íntima de los cuerpos.
Desafortunadamente, el destacado creador de la Geometría Analítica fue
impulsado por el exceso de su imaginación a la teoría singular de los
“Tourbillons de matière sutile (Remolinos de materia sutil)”, inmediatamente
a la que se opuso con fuerza el eminente filósofo y astrónomo Pierre
Gassendi, defensor extremo de las doctrinas de Epicuro y antagonista
decidido de la filosofía de Aristóteles, todavía entonces predominante.
Defensor aún más fuerte de la teoría de los átomos fue el inmortal Isaac
Newton, quien, habiendo descubierto la Atracción Universal, produjo nuevos
argumentos a favor de los sectarios de Epicuro. Leibnitz, una ardua
emulación de Newton, combatió, desde el punto de vista teocrático, la teoría
atomista. Esta vehemente discusión pasó a Francia, con el incansable
propagador de la verdad, defensor de la justicia y apóstol de la libertad,
que se hacía llamar Voltaire, como principal campeón de las ideas de Newton.
Hasta finales del siglo XVIII, todas las teorías sobre la constitución
íntima de los cuerpos son concepciones verdaderamente a priori; concepciones
helénicas, elaboradas por el sistema de los filósofos de la antigua Grecia;
sin ningún fundamento en observaciones, experiencias y datos positivos.
Gracias a Newton y sus dignos sucesores, la ciencia había adquirido un nuevo
instrumento de investigación de la verdad: el análisis infinitesimal. El
análisis infinitesimal creó la noción de “infinitamente pequeña”, de una
cantidad más pequeña que cualquier otra apreciable por nuestros sentidos.
Sin embargo, este pan infinitamente pequeño es estrictamente una Molécula y
mucho menos un Átomo.
La mecánica de materiales o la mecánica de sólidos se desarrolló en la
efusión de estudios matemáticos y físicos después del gran logro de Isaac
Newton (1642-1727) al establecer las leyes del movimiento, aunque tiene
raíces más tempranas. La necesidad de comprender y controlar la fractura de
sólidos parece haber sido una primera motivación. Leonardo da Vinci
(1452-1519) bosquejó en sus cuadernos una posible prueba de la resistencia a
la tracción de un alambre. El científico experimental italiano Galileo
Galilei (1564-1642), quien murió en el año del nacimiento de Newton, había
investigado las cargas de rotura de las barras en tensión y llegó a la
conclusión de que la carga era independiente de la longitud y proporcional
al área de la sección transversal, primer paso hacia un concepto de
esfuerzo. También investigó cómo la ruptura de pesadas columnas de piedra,
colocadas horizontalmente como vigas, dependía del número y la condición de
sus soportes.
El estudio del esfuerzo y la deformación comenzó con Galileo Galilei
(1564-1642), quien publicó los resultados de sus estudios en su libro “Two
New Sciences” (1638). Una de las nuevas ciencias que describió en su obra
fue la dinámica y la otra fue el análisis de esfuerzos. Los cuadernos de
Leonardo da Vinci (1452-1519) muestran que estudió la resistencia a la
rotura de alambres de hierro y la resistencia de vigas y columnas, pero no
publicó ninguno de sus trabajos. Galileo intentó determinar los esfuerzos en
una viga en voladizo, pero no sabía que la distribución de esfuerzos no
podía determinarse sin considerar la deformación de la viga. En efecto, su
análisis asumió que el material era infinitamente rígido. Robert Hooke
(1635-1703), en su artículo de “De Potentia Restitutiva” (1678), fue el
primero en señalar que un cuerpo se deforma si una fuerza actúa sobre él. En
realidad, restringió su consideración a los cuerpos para los cuales la
deformación era proporcional a la fuerza y, por lo tanto, una relación
lineal entre el esfuerzo y la deformación se llama la Ley de Hooke. Esto
forma la base para el desarrollo de la Teoría de la Elasticidad, que es el
tema del análisis de esfuerzos en materiales linealmente elásticos.
En los años posteriores a Galileo, muchos ingenieros, físicos y matemáticos
trabajaron en problemas de análisis de esfuerzos. El desarrollo del tema
avanzó en dos líneas. La teoría de la elasticidad tenía como objetivo
analizar la distribución exacta del esfuerzo en un cuerpo cargado y
constituía la parte más matemática de la materia. Sin embargo, las
dificultades matemáticas a menudo eran demasiado grandes en el caso de
problemas prácticos importantes y, en consecuencia, junto con la teoría de
la elasticidad, se desarrolló una rama del análisis de esfuerzos que se
refería en gran medida a soluciones más o menos aproximadas de problemas
prácticos. Esta rama de la materia a menudo se llama Resistencia de
Materiales, para distinguirla de la Teoría de la Elasticidad, aunque el
nombre es no realmente apropiado. Un mejor nombre sería resistencia de los
cuerpos o análisis de esfuerzos aplicado.
Desarrollo histórico de la Resistencia de Materiales hasta C. A. Coulomb
Desde los primeros tiempos en que las personas comenzaron a construir, se
descubrió que era necesario tener información sobre la resistencia de los
materiales estructurales para poder establecer reglas para determinar las
dimensiones seguras de los tramos a medida que se elevaban sobre la
superficie del terreno. Los egipcios tenían algunas reglas empíricas de este
tipo, ya que sin ellas hubiera sido imposible erigir sus grandes monumentos,
templos, pirámides y obeliscos, algunos de los cuales todavía existen. Los
griegos avanzaron aún más el arte de construir. Desarrollaron la estática
(ver Apéndice D - La Statique) que subyace a la mecánica de los materiales.
Arquímedes (287-212 a. C.) dio una prueba rigurosa de las condiciones de
equilibrio de una palanca (ver Apéndice C - La Estática de las Siete Máquinas Simples) y describió métodos para determinar los centros de
gravedad de los cuerpos. Usó su teoría en la construcción de varios
dispositivos de elevación. Los métodos utilizados por los griegos para
transportar las columnas y arquitrabes del templo de Diana de Éfeso se
muestran en la parte inferior de la Figura 1 (ver Apéndice E - Mécanique Classique).
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Figura
1. (arriba) Máquina grúa romana para elevación de objetos. (abajo) Método de
transporte de columnas griegas. Timoshenko (1953) |
En 1414 fue descubierta una copia manuscrita del libro “De Architectura”, de
Vitruvio (Marcus Pollio Vitruvius), despertó un gran interés dentro del
mundo de la arquitectura y del humanismo siendo el germen de toda una serie
de tratados que vieron la luz durante el Renacimiento. Gracias a este
documento se conocen algunos métodos de construcción romanos. Vitruvio,
arquitecto romano de la época de Augusto, compuso su obra como un compendio
en 10 partes de todos los saberes arquitectónicos de su tiempo, siendo ésta
la línea seguida después por los principales tratadistas del Renacimiento.
Arquitectos como Alberti, Serlio, Vignola o Palladio tuvieron muy en cuenta
este tratado ya que era el único texto conservado que recogía todo el saber
arquitectónico de la Antigüedad, modelo de inspiración para el Renacimiento.
En un primer momento la obra fue estudiada fundamentalmente por filólogos
que trataron de hacerla inteligible, dado lo complicado del texto, pero
pronto se sucedieron otras versiones más personalizadas e ilustradas. Hacia
1486 Fra Giovanni Sulpicio da Veroli publicó la primera impresión de la obra
sin traducir, todavía en latín vulgar. La siguiente la realizó Fra Giovanni
Giocondo y en 1521 Cesare Cesariano presenta la primera traducción al
italiano. Estructurado en diez libros, el documento expone todos los
conocimientos de su época sobre la teoría y la práctica arquitectónica,
entendiendo por tal no solo el arte de la construcción de edificios, a los
que dedica los siete primeros libros, sino también las obras públicas y los
diseños de máquinas para la construcción de edificios. Vitruvio estudia en
el libro primero los principios de la arquitectura en general, así como la
elección de los lugares propicios para edificar una ciudad o una casa. El
volumen segundo lo dedica a los diferentes materiales utilizados en la
construcción, como el ladrillo, la piedra, la cal, o la madera. En el tercer
y cuarto libro trata sobre los templos y los órdenes arquitectónicos,
pasando en el quinto libro a hablar de los edificios públicos. En el sexto
libro estudia los edificios privados y sus medidas (Figura 2), y el séptimo
lo dedica a la decoración y ornamentación de los edificios. El octavo está
dedicado a la hidráulica con explicaciones sobre procedimientos para
encontrar y conducir el agua. El noveno libro es un tratado de Gnómica y el
décimo versa sobre el estudio de las máquinas de la construcción.
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Figura 2 – Muro de contención en “De
Architectura” de Vitruvius (derecha) (a) Alzado (b) Planta |
Los romanos fueron grandes constructores y solían usar arcos en sus
edificios. No solo quedan algunos de sus monumentos y templos, sino también
carreteras, puentes y fortificaciones. La Figura 1 muestra un tipo de
elevador utilizado por los romanos para levantar piedras pesadas. La Figura
3 muestra los arcos en el Pont du Gard, un puente que está en servicio hasta
hoy en el sur de Francia. Una comparación de las proporciones de los arcos
romanos con las de la actualidad indica que hoy en día se construyen
estructuras mucho más livianas (en Alfred Leger, “Les Travaux Publics aux
temps des Romains”, p. 135, París, 1875). Los romanos no tenían las ventajas
proporcionadas por el análisis de esfuerzos. No sabían cómo seleccionar la
forma adecuada y generalmente tomaban arcos semicirculares (de medio punto)
de luz relativamente pequeña.
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Figura 3. Arcos romanos en
Pont-du-Gard, Nimes (sur de Francia) |
La mayor parte del conocimiento que los griegos y romanos acumularon en el
devenir de la ingeniería estructural se perdió durante la Edad Media y solo
desde el Renacimiento se ha recuperado. Así, cuando el famoso arquitecto
italiano Fontana (1543-1607) erigió el obelisco del Vaticano por orden del
Papa Sixto V (Figura 4), este trabajo atrajo una gran atención de los
ingenieros europeos. Los egipcios habían levantado varios obeliscos de este
tipo miles de años antes, después de cortar la piedra de las canteras de
Syene y transportarla por el río Nilo. De hecho, los romanos trasladaron
algunos de los obeliscos egipcios de sus sitios originales y los erigieron
en Roma; Por lo tanto, parece que los ingenieros del siglo XVI no estaban
tan bien equipados para tareas tan difíciles como sus predecesores.
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Figura
4. Erección del obelisco egipcio en la plaza del Vaticano |
Durante el Renacimiento hubo un resurgimiento del interés en la ciencia, y
los líderes del arte aparecieron en el campo de la arquitectura y la
ingeniería. Leonardo da Vinci (1452-1519) fue el hombre más destacado de ese
período. No solo fue el artista principal de su tiempo, sino también un gran
científico e ingeniero. No escribió libros, pero se encontró mucha
información en sus cuadernos sobre sus grandes descubrimientos en diversas
ramas de la ciencia. Leonardo da Vinci se interesó mucho en la Mecánica (ver
Apéndice E - Mécanique Classique) y en una de sus notas, afirma: “La
mecánica es el paraíso de la ciencia matemática porque aquí alcanzamos los
frutos de las matemáticas”. Leonardo utiliza el método de momentos para
obtener las soluciones correctas a problemas tales como los que se muestran
en la Figura 5. Aplica la noción del principio de desplazamientos virtuales
para analizar varios sistemas de poleas y palancas, como los que se utilizan
en los dispositivos de elevación. Parece que Leonardo da Vinci tenía una
idea correcta del empuje producido por un arco. En uno de sus manuscritos
hay un boceto (Figura 6) de dos miembros en los que una carga vertical Q
actúa y se hace la pregunta: ¿Qué fuerzas son necesarias en los puntos a y b
para tener equilibrio? Del paralelogramo en líneas punteadas, en el
bosquejo, se puede concluir que Leonardo da Vinci tenía la respuesta
correcta en este caso.
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Figura 5. Método de los momentos aplicado por Leonardo da Vinci |
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Figura 6. Equilibrio de fuerzas de Leonardo da Vinci |
Leonardo da Vinci estudió la resistencia de los materiales estructurales
experimentalmente. En su nota “Prueba de la resistencia de los alambres de
hierro de varias longitudes”, da el bosquejo que se muestra en la Figura 7 y
hace la siguiente observación: “El objetivo de esta prueba es encontrar la
carga que puede soportar un alambre de hierro. Amarre un alambre de hierro
de 2 brazos (‘braccia’) de largo a algo que lo apoye firmemente, a
continuación, amarre una cesta o cualquier recipiente similar al alambre y
vaya llenando esta cesta con arena fina a través de un pequeño orificio
situado en el extremo de una tolva. Se fija un resorte para que cierre el
agujero de la tolva tan pronto como se rompa el alambre. La canasta no se
altera mientras cae, ya que cae a una distancia muy corta. Se debe registrar
el peso de la arena y la ubicación de la ruptura del alambre. La prueba se
repite varias veces para verificar los resultados. Luego se prueba un
alambre de la mitad de la longitud anterior y se registra el peso adicional
que soporta; luego se prueba un alambre de un cuarto de longitud y así
sucesivamente, observando cada vez la resistencia final y la ubicación de la
ruptura”.
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Figura 7. Ensayo de resistencia de alambre de Leonardo da Vinci |
Leonardo da Vinci también consideró la resistencia de las vigas y declaró un
principio general de la siguiente manera: “En cada artículo que esté
apoyado, pero libre de doblarse, y que tenga una sección transversal y
material uniformes, la parte más alejada de los apoyos se doblará más”.
Recomendó hacer una serie de pruebas, a partir de una viga que podría
soportar un peso definido cuando está apoyada en ambos extremos, y después
tomar sucesivamente vigas de la misma altura y ancho, y registrar el peso
que podrían soportar. Su conclusión fue que la resistencia de las vigas
apoyadas en ambos extremos varía inversamente con la longitud y directamente
con el ancho. También investigó algo en vigas que tienen un extremo fijo y
el otro libre y declaró: “Si una viga de 2 brazos de longitud soporta 100
libras, una viga de 1 brazo de longitud soportará 200 libras. Tantas veces
como la longitud más corta esté contenida en la más larga, tantas veces más
peso soportará que la más larga”. Con respecto al efecto de la altura sobre
la resistencia de una viga, no hay una declaración definitiva en las notas
de Leonardo da Vinci.
Aparentemente, Leonardo da Vinci hizo algunas investigaciones sobre la
resistencia de las columnas. Afirma que esta varía inversamente según sus
longitudes, pero directamente con algunas relaciones de sus secciones
transversales. Estos logros brevemente discutidos de da Vinci representan
quizás el primer intento de aplicar la estática para encontrar las fuerzas
que actúan en miembros de estructuras y también los primeros experimentos
para determinar la resistencia de los materiales estructurales. Sin embargo,
estos importantes avances quedaron enterrados en las notas de da Vinci y los
ingenieros de los siglos XV y XVI continuaron, como en la época romana,
ajustando las dimensiones de los elementos estructurales basándose
únicamente en la experiencia y el juicio.
Los primeros intentos de encontrar las dimensiones seguras de los elementos
estructurales analíticamente se hicieron en el siglo XVII. El famoso libro
de Galileo “Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove
scienze” (Consideraciones y demostraciones matemáticas sobre dos nuevas
ciencias”), más conocido como “Dos Nuevas Ciencias”, muestra los esfuerzos
del escritor para poner los métodos aplicables en el análisis de esfuerzos
en una secuencia lógica. Su obra representa el comienzo de la ciencia de la
resistencia de los materiales.
Organización de las Academias Nacionales de Ciencias
Durante el siglo XVII hubo un rápido desarrollo en matemáticas, astronomía y
ciencias naturales. Muchos hombres eruditos se interesaron en las ciencias y
el trabajo experimental en particular recibió mucha atención. Muchas de las
universidades estaban controladas por la Iglesia, y dado que esto no era
favorable para el progreso científico, se organizaron sociedades científicas
en varios países europeos. El propósito de estas, era reunir a hombres con
intereses científicos y facilitar el trabajo experimental. Este movimiento
comenzó en Italia, donde, en 1560, se organizó la Accademia Secretorum
Naturae en Nápoles. La famosa Accademia dei Lincei fue fundada en Roma en
1603, y Galileo fue uno de sus miembros. Después de la muerte de Galileo, la
Accademia del Cimento se organizó en Florencia con el apoyo del gran duque
Ferdinand de Medici y su hermano Leopoldo. Los alumnos de Galileo, Viviani y
Torricelli, participaron en el trabajo de dicha academia. En el volumen de
las publicaciones de la academia, se dedica un espacio considerable a
problemas como los del termómetro, barómetro y péndulo y también a diversos
experimentos relacionados con la vacuna (“Saggi di Naturali Esperienze”, 2ª
ed., Florencia, 1691).
En Inglaterra, aproximadamente al mismo tiempo, el interés científico
congregó a un grupo de hombres, que se reunieron cada vez que se presentaban
las oportunidades adecuadas. El matemático Wallis describe estas reuniones
informales de la siguiente manera: “Alrededor del año 1645, mientras vivía
en Londres, además de la conversación de diversos teólogos eminentes en
materia teológica, tuve la oportunidad de conocer a personas dignas,
inquisitivas en filosofía natural, y otras partes del aprendizaje humano; y
particularmente de lo que se ha llamado la “Nueva Filosofía” o la “Filosofía
Experimental”. Lo hicimos por acuerdos, varios de nosotros, nos reunimos
semanalmente en Londres en un determinado día y hora bajo con un cierto
costo, y una contribución semanal para financiar experimentos, con ciertas
reglas acordadas entre nosotros para tratar y hablar de tales asuntos...
Nuestras cuestiones consistían (excluyendo asuntos de teología y asuntos
estatales) en hablar y considerar las Indagaciones Filosóficas
(‘Philosophical Enquiries’), y las relacionadas con ellas; como Física
(‘Physick’), Anatomía, Geometría, Astronomía, Navegación, Estática
(‘Staticks’), Magnetismo, Química (‘Chymicks’), Mecánica (‘Mechanicks’) y
Experimentos Naturales; con el estado del arte de estos estudios, tal como
se cultivaban en el país y en el extranjero. Por lo tanto hablamos sobre la
circulación de la sangre, las válvulas en las venas, la Hipótesis
Copernicana, la Naturaleza de los Cometas y las Nuevas Estrellas, los
Satélites de Júpiter, la forma ovalada [como apareció entonces] de Saturno,
las manchas en el sol, y su giro sobre su propio Eje, las Desigualdades y
Selenografía de la Luna, las varias Fases de Venus y Mercurio, la Mejora de
los Telescopios, y el pulido de los Cristales para ese propósito, el Peso
del Aire, la Posibilidad o Imposibilidad de Vacuidades y el Aborrecimiento
en la Naturaleza, el Experimento Torriceliano con Mercurio, el Descenso de
Cuerpos pesados y los grados de Aceleración en los mismos; y otras diversas
cosas como la naturaleza. Algunos de los temas eran entonces Nuevos
Descubrimientos, y otros no tan conocidos y acogidos como ahora, y otras
cosas pertenecían a lo que se ha llamado la “Nueva Filosofía” que, desde los
tiempos de Galileo en Florencia, y Sir Francis Bacon (Lord Verulam) en
Inglaterra, se ha cultivado mucho en Italia, Francia, Alemania y otras
partes en el extranjero, así como con nosotros en Inglaterra. Esas reuniones
en Londres continuaron... y luego se incorporaron con el nombre de la Royal
Society, etc., y así continúan hasta nuestros días”. (Sir Henry Lyons, “The
Royal Society 1660-1940”, 1944). La fecha en que se selló la ‘Primera Carta’
(‘First Charter’) (15 de julio de 1662) generalmente se toma como la
fundación de la Royal Society. En la lista de los invitados a ser miembros
de la Sociedad encontramos los nombres de Robert Boyle, físico y químico;
Christopher Wren, arquitecto y matemático, y John Wallis, matemático. Como
curador, cuyo deber sería “proporcionar a la Sociedad todos los días que se
reúnan, tres o cuatro experimentos considerables”, fue nombrado Robert
Hooke.
La Academia Francesa de Ciencias también tuvo su origen en las reuniones
informales de científicos. El Padre Mersenne (1588-1648) estableció y
fomentó hasta su muerte, una serie de conferencias a las que asistieron
hombres como Gassendi, Descartes y Pascal. Más tarde, estas reuniones
privadas de científicos continuaron en la casa de Habert de Montmor. En
1666, el ministro de Louis XIV, Colbert, tomó medidas oficiales para
organizar la Academia de Ciencias, que tendría como miembros especialistas
en diversos campos científicos. El matemático Roberval, el astrónomo
Cassini, el físico danés Romer (que midió la velocidad de la luz) y el
físico francés Mariotte aparecen en la primera lista de miembros de la
Academia (J.L.F. Bertrand, “L’Académie des Sciences et les Academiciens de
1666 a 1793”, París, 1869). Algo más tarde (en 1770) se organizó la Academia
de Ciencias de Berlín, y en 1725 se abrió la Academia de Ciencias de Rusia
en San Petersburgo. Todas estas academias publicaron sus actas
(‘transactions’) y éstas tuvieron una gran influencia en el desarrollo de la
ciencia en los siglos XVIII y XIX.
Aplicaciones de Ingeniería de la Resistencia de Materiales en el Siglo XVIII
Durante el siglo XVII, la investigación científica se desarrolló
principalmente en manos de hombres que trabajaban en las academias de
ciencia. Pocas personas estaban interesadas en la mecánica de los cuerpos
elásticos y, aunque Galileo, Hooke y Mariotte consideraron algunas
cuestiones de elasticidad y de la resistencia de las estructuras planteadas
por problemas prácticos, la curiosidad científica fue el principal motivo de
potenciar su trabajo. Durante el siglo XVIII, los resultados científicos de
los cien años anteriores encontraron aplicaciones prácticas y se
introdujeron gradualmente métodos científicos en diversos campos de la
ingeniería. Los nuevos desarrollos en ingeniería militar y estructural
requerían no solo experiencia y conocimiento práctico, sino también la
capacidad de analizar nuevos problemas de manera racional. Se fundaron las
primeras escuelas de ingeniería y se publicaron los primeros libros sobre
ingeniería estructural. Francia se adelantó a otros países en este
desarrollo, y el estudio de la mecánica de los cuerpos elásticos progresó
durante el siglo XVIII principalmente debido a la actividad científica en
ese país.
En 1720, se abrieron varias escuelas militares en Francia para la formación
de expertos en fortificaciones y artillería, y, en 1735, Bélidor (1697-1761)
publicó un libro de texto de matemáticas (en Bélidor, “Nouveau Cours de
Mathématique a l’Usage de L’Artillerie et du Génie”, París, 1735) para usar
en esas escuelas. El escritor discute no solo las matemáticas, sino también
sus aplicaciones en mecánica, geodesia y artillería. Aunque Bélidor incluye
solo matemática elemental en este trabajo, recomienda a aquellos de sus
alumnos con inclinación matemática, que también estudien cálculo y menciona
el libro “Analyse des Infiniment Petits” del Marqués de L’Hôpital, el primer
libro sobre cálculo en ser publicado. Para apreciar cuán rápidamente se
estaba desarrollando la aplicación de las matemáticas, solo hay que pensar
que, a fines del siglo XVII, solo cuatro hombres (Leibnitz, Newton y los dos
hermanos Bernoulli) estaban trabajando en el cálculo y estaban
familiarizados con esta nueva rama de las matemáticas.
En 1729, fue publicado el libro de Bélidor “La Science des Ingénieurs”. Este
libro gozó de gran popularidad entre los ingenieros estructurales y fue
reimpreso muchas veces. La última edición, con notas agregadas por Navier,
apareció en 1830. En este libro hay un capítulo que trata sobre la
resistencia de los materiales. La teoría aquí no va más allá de los
resultados obtenidos por Galileo y Mariotte, pero Bélidor la aplica a sus
experimentos con vigas de madera y da las reglas para determinar las
dimensiones seguras de las vigas. En estos cálculos, Bélidor muestra que la
práctica establecida entonces de elegir las dimensiones de las vigas no es
satisfactoria y recomienda un método de enfoque más racional para resolver
el problema. Para este propósito utiliza afirmación de Galileo de que la
resistencia de una viga rectangular es proporcional al ancho y al cuadrado
de la altura de la sección transversal. En conclusión, expresa la opinión de
que no solo se pueden analizar vigas simples sino también sistemas de barras
más complicados, como los que se utilizan en la construcción de techos y
armaduras de puentes, y que se pueden establecer métodos para seleccionar
dimensiones seguras.
En 1720, el Cuerpo de Ingenieros de Vías de Comunicación (Corps des Ponts et
Chaussées) fue establecido por el gobierno francés y, en 1747, la famosa
École des Ponts et Chaussées se fundó en París para capacitar a ingenieros
en trabajos de construcción en carreteras, canales y puentes. Esta escuela,
jugó un papel importante en el desarrollo de la resistencia de materiales.
La historia de esta famosa escuela se puede encontrar en Ann. Ponts et
chaussées, 1906; véase el artículo escrito por de Dartein. El primer
director de esta escuela, Jean-Rodolphe Perronet (1708-1794), fue un famoso
ingeniero que diseñó y construyó varios grandes puentes de arco, el canal de
Borgoña y muchas estructuras importantes en París. Sus memorias fueron
ampliamente y leídas por los ingenieros estructurales (Déscription des
projets de la construction des ponts, etc., “Oeuvres de Perronet”).
Hacia finales del siglo XVIII (en 1798) se publicó el primer libro sobre la
resistencia de los materiales de Girard (“Traité Analytique de la Résistance
des Solides” de P.S. Girard, ingénieur des Ponts et Chaussées, París, 1798).
Una introducción histórica en este libro es de gran interés, ya que contiene
una discusión de las principales investigaciones sobre la mecánica de los
cuerpos elásticos que se realizaron en los siglos XVII y XVIII. Al analizar
la flexión de las vigas, Girard considera los métodos de análisis de Galileo
y Mariotte y parece que, en esa época, se utilizaban ambas teorías. En el
caso de materiales frágiles, como la piedra, los ingenieros utilizaron la
hipótesis de Galileo que supone que, en caso de fractura, las fuerzas
internas se distribuyen uniformemente sobre la sección transversal. Para las
vigas de madera, se prefirió la hipótesis de Mariotte, por la cual se supuso
que la intensidad de las fuerzas internas varía desde cero en el lado
cóncavo hasta la tensión máxima en la fibra más remota (en el lado convexo).
Galileo Galilei - Diálogos sobre dos nuevas ciencias
El concepto fundamental que debe reconocerse en primer lugar es el de
resistencia a la rotura (o límite elástico) introducido por Galileo en su
Discorsi sobre el simple experimento de una muestra en tensión pura (Figura
8).
|
Figura
8. Prueba de tracción longitudinal de Galileo |
Galileo utiliza esta primera caracterización de la tenacidad y coherencia
(tenacità e coerenza) del material para explicar la dificultad que encuentra
para romper una varilla o una viga en tensión mientras que es mucho más
fácil romperla al doblarla (flexionarla): “Un prisma o un cilindro macizo de
vidrio, acero, madera u otro material rompible que es capaz de soportar un
peso muy pesado cuando se aplica longitudinalmente se rompe fácilmente, como
se señaló anteriormente, por la aplicación transversal de un peso que puede
ser mucho más pequeño en proporción a medida que la longitud del cilindro
excede su espesor”. Considerando una viga en voladizo (Figura 9) construida
en un muro (tramo AB) y sometida a un peso aplicado en el otro extremo
(tramo CD), primero define la “resistencia absoluta a la fractura como la
ofrecida a una tracción longitudinal”. Luego, asume que esta resistencia a
la tensión se localizará en la sección de la viga donde se fija al muro
(empotramiento) y que “esta resistencia se opone a la separación de la parte
BD que está fuera del muro, de la parte que está dentro”. El razonamiento
sigue “está claro que si el cilindro se rompe, se producirá una fractura en
el punto B donde el borde de la mortaja (muesca) actúa como punto de apoyo
para la palanca BC”. Al introducir el segundo concepto fundamental del
enfoque de diseño de fluencia, a saber, el equilibrio, al escribir la
ecuación de equilibrio para la palanca alrededor de B, Galileo finalmente
relaciona la “resistencia absoluta del prisma BD” con su “resistencia
absoluta a la fractura” a través de la relación del brazo de palanca corto
BA/2 con el brazo de palanca largo BC.
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Figura
9. Prisma sometido a la aplicación transversal de un peso de Galileo |
Coulomb
Charles Augustin Coulomb (1736-1806) nació en Angoulême (ver J.B.J.
Delambre, Éloge historique de Coulomb, Mém. inst. natl. France, vol. 7, p.
210, 1806. Ver también S.C. Hollister, “The Life and Work of C. A. Coulomb,”
Mech. Eng., 1936, p. 615). Después de obtener su educación preliminar en
París, ingresó al cuerpo militar de ingenieros. Fue enviado a la isla de
Martinica donde, durante nueve años, estuvo a cargo de los diversos trabajos
de construcción que lo llevaron a estudiar las propiedades mecánicas de los
materiales y diversos problemas de la ingeniería estructural. Mientras
estuvo esa isla, escribió su famoso artículo “Sur une Aplicación des Régles
de Maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à
l’architecture” que fue presentado en 1773 a la Academia de Ciencias de
Francia (Publicado en Mém. acad. sci. savants étrangers”, vol. VII, París,
1776). En el prefacio de este trabajo, Coulomb dice: “Esta memoria escrita
hace algunos años, al principio estaba destinada a mi propio uso individual
en el trabajo al que me dedicaba en mi profesión. Si me atrevo a presentarlo
a esta Academia es solo porque los esfuerzos más débiles son amablemente
recibidos por ella cuando tienen un objetivo útil. Además, las Ciencias son
monumentos consagrados al bien público. Cada ciudadano debe contribuir a
ellos de acuerdo con sus talentos. Mientras que los grandes hombres serán
llevados a la parte superior del edificio donde pueden demarcar y construir
los pisos superiores, los artesanos comunes que se encuentran dispersos por
los pisos inferiores o están ocultos en la oscuridad de los cimientos deben
buscar solo perfeccionar lo que las manos más inteligentes han creado.”
Después de su regreso a Francia, Coulomb trabajó como ingeniero en Rochelle,
la isla de Aix y Cherburgo. En 1779, compartió (con Van Swinden) el premio
otorgado por la Academia por un artículo sobre la mejor manera de construir
una brújula; 1781 lo vio ganar el premio de la Academia por su memoria
“Théorie des machines simples”, en la que presenta los resultados de sus
experimentos sobre la fricción de diferentes cuerpos que se deslizan una
sobre otra (secos, o recubiertos con sustancias grasosas). Esta memoria,
junto con la mencionada anteriormente relacionada con la teoría de las
estructuras y otras de interés para los ingenieros mecánicos, fue reeditada
en forma de un libro, “Théorie des machines simples”, 1821, París. Después
de 1781, Coulomb estaba estacionado permanentemente en París, donde fue
elegido miembro de la Academia y pudo encontrar mejores instalaciones para
el trabajo científico. Dirigió su atención a las investigaciones en
electricidad y magnetismo. Para la medición de pequeñas fuerzas eléctricas y
magnéticas, desarrolló una balanza de torsión muy sensible y en conexión con
este trabajo investigó la resistencia del alambre a la torsión (“Recherches
théoriques et experimentales sur la force de torsion et sur l’élasticité des
fils de métal,” Mdm. acad. sci., 1784).
Al estallar la Revolución Francesa en 1789, Coulomb se retiró a una pequeña
finca que poseía en Blois. En 1793, la Academia fue clausurada, pero dos
años después reapareció con el nuevo nombre de L’Institut National des
Sciences et des Arts. Coulomb fue elegido uno de los primeros miembros de
esta nueva institución y sus últimos trabajos sobre la viscosidad de los
fluidos y el magnetismo se publicaron en las Mémoires de l’lnstitut (1801,
1806). Coulomb fue nombrado uno de los inspectores generales de estudios en
1802 y dedicó gran parte de su energía al mejoramiento de la educación
pública. Esta actividad requirió muchos viajes, lo cual fue demasiado
extenuante para su edad y débil salud, y murió en 1806. Su trabajo permanece
y todavía estamos usando sus teorías de fricción, resistencia de materiales
estructurales y de torsión. Ningún otro científico del siglo XVIII
contribuyó tanto como Coulomb a la ciencia de la mecánica de los cuerpos
elásticos. Los principales avances se incluyen en su ensayo de 1773.
Conceptos de Esfuerzo, Deformación y Elasticidad
El científico inglés Robert Hooke descubrió en 1660, pero publicó solo en
1678, la observación de que para muchos materiales el desplazamiento bajo
una carga era proporcional a la fuerza, estableciendo así la noción de
elasticidad (lineal) pero aún no de una manera que fuera expresable en
términos de esfuerzo y deformación. Edme Mariotte en Francia publicó
descubrimientos similares en 1680 y, además, llegó a una comprensión de cómo
vigas como las estudiadas por Galileo Galilei resistieron cargas
transversales o, más precisamente, resistieron los torques (pares) generados
por esas cargas transversales, desarrollando deformaciones extensionales y
de compresión, respectivamente, en fibras materiales (material fibers) a lo
largo de sus porciones superior e inferior.
Correspondió al matemático e ingeniero mecánico suizo James Bernoulli
(1654-1705) observar, en el último artículo de su vida, en 1705, que la
forma correcta de describir la deformación era expresarla como fuerza por
unidad de área, o esfuerzo, como una función del alargamiento por longitud
unitaria, o deformación, de una fibra material bajo tensión. El matemático e
ingeniero mecánico suizo Leonhard Euler (1707-1783), a quien el hermano de
James, John Bernoulli (1667-1748) le enseñó matemáticas, propuso, entre
muchas contribuciones, una relación lineal entre el esfuerzo y la
deformación en 1727, de la forma σ = Eε donde el coeficiente E es ahora
generalmente llamado módulo de Young por el naturalista inglés Thomas Young,
quien desarrolló una idea relacionada con la noción de que existe una
tensión interna que actúa a través de superficies en un sólido deformado que
fue expresada por el matemático y físico alemán Gottfried Wilhelm Leibniz en
1684 y James Bernoulli en 1691. Además, Bernoulli y Euler introdujeron la
idea de que en una sección dada a lo largo de una viga había tensiones
internas que equivalen a una fuerza neta y un torque neto. Euler introdujo
la idea del esfuerzo compresivo normal como la presión en un fluido en 1752.
El ingeniero y físico francés Charles Augustin Coulomb (1736-1806)
aparentemente fue el primero en relacionar la teoría de una viga como una
línea elástica doblada con el esfuerzo y deformación en una viga real, de
una manera nunca lograda por Bernoulli y, aunque posiblemente reconocida,
nunca publicada por Euler. Desarrolló la famosa expresión σ = My/I para el
esfuerzo debido a la flexión pura de una viga elástica lineal homogénea;
aquí M es el torque, o momento flector, y es la distancia de un punto desde
un eje que pasa a través del centroide de la sección, paralelo al eje del
par, e I es la integral de y2 sobre el área de la sección. El matemático
francés Antoine Parent introdujo el concepto de esfuerzo cortante en 1713,
pero Coulomb fue quien desarrolló ampliamente la idea en relación con las
vigas y con el esfuerzo y la falla del suelo en 1773, y los estudios de
deslizamiento por fricción en 1779. Fue el gran matemático francés Augustin
Louis Cauchy (1789-1857), originalmente educado como ingeniero, quien en
1822 formalizó el concepto de esfuerzo en el contexto de una teoría
tridimensional general, mostró sus propiedades como un conjunto simétrico
(symmetric array) de números de 3 por 3 que transforma como un tensor,
derivó las ecuaciones de movimiento para un continuo en términos de los
componentes del esfuerzo, y dio el desarrollo específico de la teoría de la
respuesta elástica lineal para sólidos isotrópicos. Como parte de este
trabajo, Cauchy también introdujo las ecuaciones que expresan los seis
componentes de la deformación, tres extensionales y tres cortantes, en
términos de derivadas de desplazamientos para el caso en que todas esas
derivadas son mucho más pequeñas que la unidad; Euler había dado expresiones
similares al expresar tasas de deformación en términos de las derivadas del
campo de velocidad en un fluido.
Teoría de la plasticidad del continuo
La teoría macroscópica del flujo plástico tiene una historia casi tan
antigua como la de la elasticidad. Mientras que en la teoría microscópica de
los materiales, la palabra “plasticidad” generalmente se interpreta como
denotando la deformación por procesos de dislocación, en la mecánica
macroscópica del continuo se toma para denotar cualquier tipo de deformación
permanente de los materiales, especialmente aquellos de un tipo para el cual
el tiempo o la velocidad los efectos de la deformación no son la
característica más dominante del fenómeno (los términos viscoplasticidad o
fluencia o viscoelasticidad se usan generalmente en tales casos). Se ha
mencionado el trabajo de Coulomb de 1773 sobre la fluencia por fricción
(frictional yielding) de los suelos bajo esfuerzos de corte (cizallamiento)
y normal; la fluencia (yielding) denota la ocurrencia de grandes
deformaciones de corte sin un aumento significativo en los esfuerzos
aplicados. Este trabajo encontró aplicaciones para explicar la presión de
los suelos contra muros de contención y cimientos en el trabajo del
matemático e ingeniero francés J.V. Poncelet en 1840 y el ingeniero y físico
escocés W.J.M. Rankine en 1853.
La deformación inelástica de suelos y rocas a menudo tiene lugar en
situaciones en las que la masa deformante es infiltrada por el agua
subterránea, y el ingeniero civil austriaco-estadounidense Karl Terzaghi en
los años 1920s desarrolló el concepto de esfuerzo efectivo, por el cual los
esfuerzos que entran en un criterio de fluencia o falla no son los esfuerzos
totales aplicados al suelo saturado o masa rocosa, sino más bien los
esfuerzos efectivos, que son la diferencia entre las tensiones totales y las
de un estado de tensión puramente hidrostática con una presión igual a la
del fluido de los poros. Terzaghi también introdujo el concepto de
consolidación, en el cual la compresión de un suelo saturado de fluido solo
puede tener lugar cuando el fluido fluye lentamente a través del espacio de
los poros bajo gradientes de presión, de acuerdo con la ley de Darcy; Este
efecto explica el asentamiento dependiente del tiempo de las construcciones
sobre suelos arcillosos.
Además de la observación anterior del flujo de plástico a grandes esfuerzos
en las pruebas de tracción de las barras, la plasticidad continua de los
materiales metálicos comienza con Henri Edouard Tresca en 1864. Sus
experimentos sobre la compresión e indentación (hendidura) de metales lo
llevaron a proponer que este tipo de plasticidad, en contraste con la de los
suelos, era esencialmente independiente del esfuerzo normal promedio en el
material y dependía solo de los esfuerzos de corte, una característica que
luego fue racionalizada por el mecanismo de dislocación. Tresca propuso un
criterio de fluencia para los policristales metálicos macroscópicamente
isotrópicos basado en el esfuerzo cortante máximo en el material, y que fue
utilizado por Saint-Venant para resolver un primer problema elato-plástico,
el del cilindro parcialmente plástico en torsión, y también para resolver
las tensiones en un tubo de plástico completamente bajo presión.
El ingeniero alemán en mecánica aplicada Ludwig Prandtl desarrolló los
rudimentos de la teoría del flujo plástico plano en 1920 y 1921, con un
análisis de indentación de un sólido dúctil por un penetrador rígido de
punta plana, y la teoría resultante de las líneas de deslizamiento plástico
fue completada por H. Hencky en 1923 y Hilda Geiringer en 1930. Desarrollos
adicionales incluyen los métodos de análisis de límite plástico, que
permitió a los ingenieros directamente calcular límites superior e inferior
a las cargas de colapso de plástico de estructuras o a fuerzas requeridas en
metal que los forma. Esos métodos se desarrollaron gradualmente a comienzos
de los años 1900s sobre una base en gran medida intuitiva, primero para
estructuras de vigas simples y luego para placas, y fueron colocadas de
manera rigurosa dentro de la teoría matemática de la plasticidad en rápido
desarrollo alrededor de 1950 por Daniel C. Drucker y William Prager en
Estados Unidos y Rodney Hill en Inglaterra.
Breve recuento histórico de la plasticidad del suelo
La teoría de la plasticidad del suelo se ocupa del análisis de esfuerzos y
deformaciones en la gama plástica del medio suelo. Aplicado al diseño de
cimientos y estructuras de contención, representa una extensión necesaria de
la teoría de la elasticidad en el sentido de que proporciona estimaciones
más realistas de las capacidades de carga contra fallas, y además,
proporciona mejores estimaciones de asentamientos o desplazamientos cuando
se somete a su carga de trabajo.
La primera contribución a una teoría de la plasticidad del suelo fue hecha
en 1773 por Coulomb, quien propuso el criterio de falla de Coulomb para
suelos. También estableció el importante concepto de limitar el equilibrio
plástico a un continuo y lo aplicó para determinar la presión de un relleno
en un muro de contención. Posteriormente, en 1857, Rankine investigó el
equilibrio plástico límite de un cuerpo infinito e introdujo el concepto de
superficies de deslizamiento. En 1899, Massau utilizó el método de
características para la determinación aproximada de campos de esfuerzos en
suelos. En particular, para problemas de deformación plana en suelos sin
cohesión, Massau estableció la propiedad geométrica básica de la red de
campo de líneas de deslizamiento, reconoció la posibilidad de líneas
limitantes y dio una discusión exhaustiva de las discontinuidades de
esfuerzos.
En el desarrollo de la teoría de la presión de tierra mencionada
anteriormente, la introducción de las relaciones esfuerzo-deformación fue
obviada por la restricción a la consideración del equilibrio plástico
limitante y la apelación a un principio de extremo heurístico implícito en
el trabajo de Coulomb y más claramente formulado por Moseley (1833). Massau
fue el primero en reconocer claramente que algunas pruebas de la teoría de
la presión de tierra eran insatisfactorias porque implicaban abierta o
tácitamente la validez de un principio extremo de Moseley.
Posteriormente, el desarrollo de la teoría de la plasticidad del suelo
avanzó lentamente. Se hicieron algunos avances a principios del siglo XX,
cuando se publicaron las obras de Kötter (1903) y Fellenius (1926). El
primero fue un intento de obtener un conjunto de ecuaciones diferenciales de
equilibrio plástico y luego transformarlas en coordenadas curvilíneas
(método de línea de deslizamiento). En el trabajo de Fellenius, se describió
claramente una teoría simplificada del equilibrio plástico (método del
equilibrio límite). Estaba intentando resolver problemas asumiendo
superficies de deslizamiento de varias formas simples: planas o cilíndricas
circulares. Posteriormente, Sokolovskii aplicó las ecuaciones de Kötter a
varios problemas de estabilidad en la mecánica de suelos.
Sus obras se han resumido recientemente en forma de libro (1965). Los
trabajos de Fellenius fueron desarrollados por muchos investigadores y
resumidos en el conocido libro de Terzaghi sobre mecánica de suelos (1943).
Este desarrollo ignora por completo el hecho importante de que las
relaciones esfuerzo-deformación son el componente esencial de una teoría
completa de cualquier rama de la mecánica del continuo de los sólidos
deformables.
Durante los últimos veinte años, la teoría de la plasticidad de los metales
se ha desarrollado intensamente. El desarrollo de la plasticidad del metal
ha sido fuertemente influenciado por la teoría mucho más antigua de la
presión de tierra. Por ejemplo, la condición de falla de Tresca (1868) es un
caso especial de la condición de rotura de Coulomb (1773) que es casi un
siglo antes de Tresca. De manera similar, la investigación de Rankine (1857)
de los estados de equilibrio plásticos en la tierra suelta precedió a la
investigación de De Saint Venant (1870) de tales estados de equilibrio en
los sólidos plásticos. Como señaló Prager (1955a), es una suerte que el
desarrollo moderno de la plasticidad de los metales no copiara la
característica insatisfactoria de la teoría de la presión de tierra, sino
que introdujo una regla de flujo que relacionaba el esfuerzo con la
deformación por velocidad. Por tanto, la investigación en plasticidad de los
metales se vio obligada a seguir un curso independiente y, como resultado de
ello, la situación se ha invertido. La teoría de la plasticidad del suelo:
la teoría general del análisis de límites, desarrollada en la década de
1950s como un tema de plasticidad de los metales, ha arrojado mucha luz
sobre los fundamentos de la teoría del equilibrio plástico limitante.
Entre 1950 y 1965, el concepto de plasticidad perfecta (es decir, sin
endurecimiento por trabajo) y los teoremas del análisis de límites forman la
parte central y más desarrollada de la teoría de la plasticidad de los
metales. Sin embargo, la extensión correspondiente a problemas de mecánica
de suelos es más reciente. Sin embargo, la teoría general de la plasticidad
de los metales ahora se aprecia en el desarrollo de una teoría moderna de la
plasticidad del suelo. Por lo tanto, es apropiado mencionar aquí los
trabajos recientes de Roscoe y sus estudiantes (1958-1963) sobre una teoría
simple de endurecimiento por trabajo isotrópico de la plasticidad del suelo
y también el de los desarrollos y aplicaciones posteriores. Estos
desarrollos se resumen en el libro titulado Stress-Strain
Behavior of Soils (Cambridge University Press, 1971). Esta extensión marca
el comienzo del desarrollo moderno de una teoría consistente de la
plasticidad del suelo.
Referencias
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California Institute of Technology, Pasadena, CA. 6th ed.
Rebouças, A. (1880). These de Concurso. Revista de Engenharia. Anno II. Num.
6. Pag. 91-94.
Timoshenko, S. (1953). A History of Strength of Materials. With a brief
account of the history of theory of elasticity and theory of structures, New
York: McGraw-Hill Book Company.
Relatos de la Geotecnia
+ Apuntes de Geotecnia con Énfasis en Laderas
2021
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