L'essai de 1773 sur la statique – 5a Parte
Por: Santiago Osorio R.
Quinta parte de la quinta entrega de la serie
'DU PLAN INCLINÉ À LA THÉORIE DU COIN DES TERRES' (Del plano inclinado a la teoría de la cuña de suelo), una visión detallada
del aporte de Charles Augustin Coulomb a la consolidación de la teoría clásica de la
mecánica de suelos. Octubre 13 de 2021.
Charles Bossut ejerció en Coulomb una fuerte influencia personal. El abbé era solo seis años mayor que Charles Augustin, tenía menos de 30 años cuando Coulomb comenzó los cursos en la escuela de Mézières. Bossut de joven puede no haber leído ampliamente ni reflejarlo a profundidad; habría expuesto los hallazgos de Phillipe de La Hire y de Bernard Forest de Bélidor, y de hecho los interpretó, pero puede que no haya descubierto el trabajo de cuarenta años atrás de su compatriota Antoine Parent, y Coulomb podría haber dejado Mézières sin saber que el problema de flexión se había resuelto. En cambio, habría tenido, por un lado, el enfoque esencialmente teórico de Galileo y, por otro, las fórmulas prácticas de Bélidor y de La Hire, junto con algunos conocimientos de las contribuciones científicas de Gregory, Bernoulli, Euler, etc. En resumen, de las autoridades a las que cita en el ‘Essai’.
En su primer puesto en Brest, Coulomb habría necesitado usar poco de la teoría de los temas que le interesaron en el ‘Essai’ once años después; pasó dos años haciendo mapas costeros antes de ir a Martinica. Permaneció en la isla durante nueve años, empleado en ‘travaux pénibles sous un ciel brulant (trabajos duros bajo un cielo abrasador)’, al que se dedicó, en palabras del Éloge de Delambre: ‘sin reservas. Ese espíritu de investigación, de experimentación y de teoría, que lo distinguió tan eminentemente, fue capaz de aplicar solo a los medios para ejecutar con mayor economía y resistencia esos trabajos bajo su dirección’. Su regreso de Martinica fue en junio de 1772, solo nueve meses antes de leer el ‘Essai’ a la Académie, y hay una pregunta de cuándo encontró tiempo para hacer sus pruebas sobre la fractura de piedra. Gillmor afirma que realizó experimentos de algún tipo durante los nueve meses, pero también deja en claro que era costumbre de Coulomb en apostamientos posteriores, intentar establecer instalaciones de laboratorio y llevar a cabo experimentos (por ejemplo, sobre fricción en 1779-1780 mientras estaba en Rochefort) sobre temas ajenos a sus deberes militares directos. Por lo tanto, al menos es posible que las pruebas en piedra de Burdeos (p. 6; p. 45) y en ladrillos de Provenza (p. 7; p. 45) se realizaron durante la primera posición de Coulomb en Brest, 1762-1763.
Algunas notas históricas sobre la vida y obra de Coulomb
Coulomb murió el 23 de agosto de 1806; el Institut publicó el ‘Éloge
historique de M. Coulomb’ ese mismo año, y fue leído públicamente su autor
Delambre, el 5 de enero de 1807. Otro elogio, de Biot, se incluyó en la
Biographie universelle de 1813, y luego se reimprimió. Todas las notas
publicadas posteriores sobre la vida de Coulomb se remontan a uno u otro de
estos dos autores (por ejemplo, Hamilton 1936-7, Hollister 1936, Timoshenko
1953), mientras que el prefacio de Potier a la edición recopilada de 1884 las
Mémoires de Coulomb (que, sin embargo, no contiene el Essai) se basa
directamente en el Éloge oficial. Quizás se encuentre una excepción en el
artículo de Thomas Young sobre Coulomb para el Suplemento de 1824 de la
Encyclopaedia Britannica (reimpreso en sus obras recopiladas). Young da, por
ejemplo, un muy buen resumen del 'Essai', que pasó por dos ediciones y cincuenta
años, y solo fue suprimido en la novena edición de 1876. Aquí a Coulomb se le
asigna solo media columna en lugar de 6 páginas dobles; a partir de la 11ª
edición de 1910 en adelante, toda mención del Essai desapareció.
Parece que no hubo un trabajo de archivo directo en Coulomb hasta el de
Gillmor, cuya biografía fue publicada en 1971, y que da por primera vez un
relato relacionado del desarrollo de Coulomb como ingeniero militar y
científico. Además, Gillmor aclara varias cuestiones de hecho, sobre las
cuales otros biógrafos se habían equivocado. Como un ejemplo trivial, parece
que la familia Coulomb no era noble, y no hay justificación para usar el
estilo ‘de Coulomb’ para implicar nobleza. Del mismo modo, aunque Coulomb dejó
París después del cierre de la Academia en 1793, y se retiró a su propiedad de
50 acres en Blois, no hay evidencia de que fuera perseguido por la ley
revolucionaria que prohibía a los nobles permanecer en París.
De nuevo, Hollister afirma sobre Coulomb que ‘... Durante generaciones, su
familia había estado encargada del cuidado de las fuentes de Francia’. Esta
declaración parece estar basada en una lectura errónea de Delambre, quien
ciertamente menciona que, en el momento de la Revolución, Coulomb renunció a
l’intendance generale des fontaines de France (la intendencia general de las
fuentes de Francia) (en 1792); Delambre luego agrega que esta posición había
sido hereditaria en una familia que se había extinguido. Sin embargo, la
familia no era la de Coulomb, sino, como descubrió Gillmor, la de los comtes
de Villepreux; el título Surintendant des Eaux había sido otorgado por
Louis XIII en 1623, y el último comte murió en 1783.
Coulomb fue nombrado Intendant des Eaux et Fontaines du Roi en 1784 (con
derechos hereditarios). La posición suena un poco ridícula, pero en realidad
estaba lejos de ser una prebenda (sinecure); el intendant era responsable del
suministro de agua a todos los edificios reales de París, a Versalles y a
Fontainebleau, así como a los suministros públicos extraídos de los acueductos
del Rey, y había cierta cooperación entre el intendant real y los
administradores del suministro público a Paris. De hecho, Coulomb había
estudiado durante algunos años antes de su nombramiento los problemas del
bombeo de agua, y fueron estos estudios los que llevaron a su nominación.
El Éloge oficial de Delambre guarda silencio sobre estos asuntos y, de
hecho, se muestra reticente respecto de muchos de los intereses actuales.
Coulomb es recordado como un gran científico, cuya fama se basa en sus
descubrimientos en electricidad y magnetismo, en su invención de la balanza de
torsión y la consiguiente verificación de la ley de cuadrados inversos para
cargas eléctricas estáticas. No dejó a sus hijos (en palabras del Éloge)
ninguna otra herencia que un nombre respetado, el ejemplo de sus virtudes y el
recuerdo de los brillantes servicios que había prestado a la ciencia. Su
trabajo sobre fricción se menciona solo brevemente. El 'Essai' no tiene nombre
ni fecha, pero Delambre señala que, después de su regreso de Martinica,
Coulomb leyó una Mémoire a la Academia que le valió el título de corresponsal.
El ‘Essai’ aplicado
El mariscal Vauban había perfeccionado el sistema de zanjas, dentro del cual
los defensores podían maniobrar, y desde el cual podían disparar a los
atacantes sin exponerse. Estas fortificaciones dieron lugar a algunos de los
principales problemas de la ingeniería civil; las paredes en tierra de las
zanjas tuvieron que ser contenidas, por lo que se requirió conocimiento de ‘la
poussée des terres (el empuje de tierra)’, y la construcción de arcos de
mampostería estuvo involucrada, por lo que se requirió conocimiento de ‘la
poussée des voutes (el empuje de bóvedas)’. Vauban había dado sus propias
reglas, y La Science des Ingénieurs de Bélidor proporcionó tablas adecuadas
tanto para muros de contención como para arcos de mampostería.
No es demasiado imaginativo suponer a Coulomb en Martinica con una copia de
Bélidor en su bolsillo, y sentir su insatisfacción con estas reglas prácticas
pero eficientes, tanto como teórico con una fuerte inclinación hacia las
matemáticas, como ingeniero práctico preocupado por la economía y resistencia.
Hay muchas razones para que Coulomb haya escrito el 'Essai' para su propio uso
(p. 4) como un intento de proporcionar soluciones más racionales a los
problemas planteados por las tareas en las que estaba involucrado. Fueron
estas soluciones las que presentó a la Académie, como savan étranger (erudito
extranjero), el 10 de marzo y el 2 de abril de 1773.
De acuerdo con su práctica habitual, la Académie nombró a dos jurados para
examinar e informar sobre el Essai de Coulomb. Estos jurados fueron de Borda,
pensionnaire en la clase de géométrie, y Bossut, associé en la misma clase.
Ellos informaron muy favorablemente, un año después, en abril de 1774, con una
recomendación para su publicación. Además, por una regla de 1753, cada
académicien tenía derecho a proponer un nombre como correspondant, y dicha
propuesta tenía que ser aprobada por una mayoría de dos tercios de todo el
cuerpo; Bossut propuso a Coulomb como su correspondant, y fue debidamente
elegido el 6 de julio de 1774. En posteriores séances de la Académie, Coulomb
se sentaría en una mesa directamente detrás Bossut, y él mismo podría
presentar Mémoires a la Académie.
La característica sobresaliente del 'Essai' es, por supuesto, el uso de
principios limitantes. Ningún escritor anterior había permitido que el plano
inclinado de deslizamiento detrás de un muro de contención entrara en el
problema en términos de un parámetro arbitrario, determinándose finalmente el
plano real mediante el uso de métodos variacionales para encontrar un máximo
(o mínimo). Como señala Coulomb en su propia introducción, esta técnica es
común a su ataque a los problemas de fractura de columnas y al colapso de los
arcos. Coulomb usa estas ideas con habilidad, pero no comienza a competir con
la habilidad matemática de Euler o de Bernoulli; matemáticamente, el 'Essai' es
de importancia insignificante. Sin embargo, mientras que Euler había resuelto
(por ejemplo) el problema matemático general de la elástica, y luego había
profundizado la solución para que pudiera aplicarse a un modelo más o menos
representativo de algo real (el pandeo de una columna elástica), todos los
problemas de Coulomb en el 'Essai' surgieron directamente de la experiencia en
ingeniería. No estaba interesado en las “matemáticas aplicadas”, sino en el
uso de las matemáticas para obtener soluciones a problemas prácticos reales.
La Bibliografía de Coulomb
Las siguientes son las referencias utilizadas por Coulomb en su ‘Essai’, a las
que posteriormente se hace una descripción, basada en la obra de Heyman de
1972.
- DAVIDIS GREGORII, Catenaria, Philosophical Transactions no. 231, 637 (1697).
- GUILLAUME AMONTONS, De la résistance causée dans les machines, tant par les frottemens des parties qui les composent, que par la roideur des cordes qu’on y employe, et la maniere de calculer l’un et l’autre, Histoire de l’Académie Royale des Sciences 1699, 206, Paris (1702).
- CHARLES BOSSUT et GUILLAUME VIALLET, Recherches sur la construction la plus avantageuse des digues, Paris (1764).
- PIERRE VAN MUSSCHENBROEK, Essai de Physique, translated from the Dutch by Pierre Massuet, Leyden (1739).
- LEONHARDO EULERO, Solutio problematis de invenienda curva, quam format lamina utcunque elastica in singulis punctis a potentiis quibuscunque sollicitata, Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 1728, 3, 70, Petersburg (1732).
- JAMES BERNOULLI, Opera (2 vols.), Geneva (1744).
- PHILIPPE DE LA HIRE, Traite de Mécanique, Paris (1695).
- PHILIPPE DE LA HIRE, Sur la construction des voutes dans les édifices, Mémoires de l’Académie Royale des Sciences 1712, 69, Paris (1731).
- BERNARD FOREST DE BÉLIDOR, La science des ingénieurs dans la conduite des travaux de fortification et d’architecture civile, Paris (1729).
- SEBASTIEN LE PRESTRE DE VAUBAN, Traité de l’attaque des places, Paris (1704); Traité de la défense des places, Paris (1706).
En ‘L’essai de 1773 sur la statique – 1a Parte’ se inició el tratamiento de
las referencias bibliográficas de la Mémoire.
DAVID GREGORY (1661-1708)
El documento ‘Catenaria’ (De curva catenaria demonstrationes geometricae, ad
reverendum virum D. Henricum ... aedis Christi Oxoniae) aplica el método de
fluxiones de Newton para determinar la forma de una cadena colgante. Veinte
años después del descubrimiento de Hooke, David Gregory utilizó los mismos
principios para describir la estabilidad de los arcos. En el documento se
discuten las propiedades de la catenaria, pero son los corolarios de Gregory
los que son de interés actual. La siguiente traducción de parte del corolario
6 se debe a Samuel Ware (A treatise of the properties of arches, and their
abutment piers, 1809), la cual formó parte de una carta que Gregory escribió
en 1697 y que relaciona la forma de la catenaria con la estabilidad de un
arco:
"En un plano vertical, pero en una situación invertida, la cadena conservará
su figura sin caer, y por tanto constituirá un arco muy delgado, o fórnix; es
decir, esferas infinitamente pequeñas rígidas y pulidas dispuestas en un arco
invertido de una catenaria formarán un arco; ninguna parte de la cual será
empujada hacia afuera o hacia adentro por otras partes, pero, manteniéndose
firme la parte más baja, se sostendrá por medio de su figura. Pues dado que la
situación de los puntos de la catenaria es la misma, y la inclinación de las
partes hacia el horizonte, ya sea en la situación ACB, o en una situación
invertida, de modo que la curva puede estar en un plano perpendicular al
horizonte, es evidente que debe mantener su figura sin cambios en una
situación como en la otra. Y, por el contrario, nadie más que la catenaria es
la figura de un verdadero arco legítimo, o fórnix (fondo de saco). Y cuando se
apoya un arco de cualquier otra figura es porque en su espesor se incluye
alguna catenaria. Tampoco se sostendría si fuera muy delgado y compuesto de
partes resbaladizas. Del Corolario 5 puede ser recogido, por qué fuerza un
arco, o contrafuerte, presiona un muro hacia afuera, al que se aplica; porque
esto es lo mismo con la parte de la fuerza que sostiene la cadena, que se
dibuja según una dirección horizontal. Porque la fuerza, que en la cadena se
tira hacia adentro, en un arco igual a la cadena se impulsa hacia afuera.
Todas las demás circunstancias relativas a la resistencia de los muros a los
que se aplican los arcos pueden determinarse geométricamente a partir de esta
teoría, que son las cosas principales en la construcción de edificios."
Ware se opone a la totalidad de este pasaje y produce argumentos engañosos
para tratar de demoler su validez. Ware mismo, sin embargo, agregó la cursiva
(Et cujuscunque alterius figurae Arcus ideo sustinetur, quod in illius
crassitie quaedam Catenaria inclusa sit (‘Y el arco de cualquier otra figura
se sostiene, pues, porque en su espesor hay una Catenaria incluida’)), y esta
es una declaración muy poderosa. Traduciendo a términos modernos y
ampliándose, Gregory afirma que, si se puede encontrar alguna línea de empuje
apoyada dentro de la mampostería, entonces el arco se mantendrá.
Esta idea, junto con la de las esferas pulidas de la catenaria invertida, fue
utilizada brillantemente por Giovanni Poleni (1748) en su demostración de la
estabilidad de la cúpula de San Pedro. Robert Hooke anticipó a Gregory en
1675. A su libro sobre helioscopios se añade, ‘para llenar el vacío de la
página siguiente’, una serie de anagramas junto con breves descripciones de
los temas a los que se refieren, entre ellos (nº 3) el famoso ut tensio sic
vis (para que la fuerza de tensión). El número 2 se refiere a “la verdadera
forma matemática y mecánica de todo tipo de arcos para la construcción”, y el
anagrama produce “Ut pendet continuum flexile, sic stabit contiguum rigidum
inversum (A medida que el continuo flexible cuelga, también lo hará la
contigüidad rígida invertida)”; Clifford Truesdell la interpreta así: “Como
cuelga la línea flexible, así pero invertido se mantendrá el arco rígido”. La
última oración citada anteriormente del corolario de Gregory insiste en que la
cuestión de la estabilidad de los arcos y los muros se reduce a la solución de
un problema matemático.
GUILLAUME AMONTONS (1663-1705)
Amontons había planteado previamente la idea de que la fuerza de fricción
entre dos cuerpos dependía solo de la fuerza que los presionaba, y no del área
de contacto. Como se señala en el Histoire del volumen de la Académie de 1699:
“Cette nouveauté causa quelque étonnement a l’Academie M. de la Hire consulta
aussi-tôt l’expérience (Esta novedad causó cierto asombro en la Academia, M.
de la Hire inmediatamente consultó la experiencia)”. (Las Mémoires de la
Académie fueron siempre publicadas en esa época con un prefacio que consiste
en resúmenes críticos; en el volumen de 1699, por ejemplo, la Histoire ocupa
123 páginas, y los Mémoires ocupan 284 páginas.) M. de La Hire es el mismo La
Hire, quien escribe sobre arcos de mampostería. En este caso, realizó
experimentos sobre las fuerzas friccionales y confirmó las hipótesis de
Amontons (Figura 1). La Histoire reconoce que Amontons tiene prioridad sobre
el tema, y su Mémoire da resultados experimentales de fricción entre cuerpos
sólidos y para cuerdas que pasan cilindros redondos. Para este último
problema, Amontons publica largas tablas que dan la fuerza de fricción para
cuerdas desde 1/12 pulgada hasta 2-1/2 pulgadas de diámetro cargadas desde 1
hasta 100000 lb. Amontons concluyó de las pruebas en cuerpos sólidos que la
fuerza de fricción realmente dependía solo de la fuerza de compresión, que era
lo mismo para hierro, cobre, plomo y madera, si las superficies de contacto
estaban lubricadas, y que en estos casos el coeficiente de fricción era 1/3.
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Figura 1. Coulomb utilizó los
resultados de Amontons en su ‘Theorie des
Machines Simples’ |
CHARLES BOSSUT (1730-1814)
No hay razón para dudar de la sinceridad del cálido homenaje de Coulomb a
Bossut en su ‘Essai’ (p. 10). Bossut había enseñado a Coulomb en la escuela de
ingeniería de Mézières. La obra de 1764 de Bossut contribuyó en el campo de la
hidráulica a perfeccionar y ampliar los resultados conocidos hasta el momento
sobre el comportamiento de los fluidos en movimiento, en especial el de los
líquidos, analizando la pérdida de carga o la resistencia de un líquido al
desplazarse a lo largo de canales, revisando la resistencia que experimenta un
objeto con determinada forma geométrica cuando se desplaza en un líquido.
El ensayo sobre diques ganó el Prix quadruple propuesto por la Real Academia
de Toulouse en 1762; que se publicó en París en 1764 como una ‘ouvrage pour
servir de suite à la seconde Partie de l’Architecture Hydraulique de M.
Bélidor (obra que sirva de continuación a la segunda parte de la arquitectura
hidráulica de M. Bélidor)’, y se ocupa de varios problemas, incluyendo los del
diseño de muros de muelles, embarcaderos, presas, atracaderos, y cajones
(caissons), así como la de la mejor forma de aliviadero desde un reservorio.
Al discutir la falla de un muro de contención, resumido a continuación, Bossut
dice que
“la coherencia (adherence) entre dos superficies surge del entrelazamiento
(engrenement) de sus partes. Esta fuerza es análoga a la resistencia que una
viga de madera, fijada en un muro y cargada con un peso, opone a su fractura;
pero hay que señalar que entre estos dos tipos de fuerzas existe la diferencia
de que las fibras de una viga de madera son flexibles y extensibles, lo que
significa que la resistencia ofrecida no es la misma en todo el tramo sobre el
que se produce la fractura, mientras que la coherencia entre dos superficies
vecinas del dique, dado que surge del entrelazamiento de porciones duras que
carecen de toda elasticidad, debe ser la misma en toda la sección.”
Esta parece ser la diferencia entre el comportamiento de la madera y la piedra
señalado por Coulomb en la pág. 10 del ‘Essai’; la madera debe tratarse como
elástica en la fractura y la piedra (o tierra) como “rígida”.
En su diseño de un muro de contención simple, Bossut hace dos supuestos de
diseño alternativos. Ambas hipótesis se refieren a estados límites de
equilibrio; en el primero, se supone que el muro permanece sólido y falla al
volcar sobre su pata. En el segundo, que Bossut considera más apropiado para
los diques de tierra que para la mampostería, supone que cada sección
horizontal está en el punto de falla, es decir, el dique ‘tend à se diviser
par tranches horizontales (tiende a estar dividido por tramos horizontales)’.
Tomando el caso especial de un dique con la cara aguas abajo HN vertical, y
para el cual el nivel del agua llega justo a la parte superior del dique
(Figura 2), Bossut encuentra la forma de la cara curva aguas arriba HM.
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Figura 2. Análisis de
dique de Bossut y Viallet |
Supone que la falla en el nivel MN ocurre por rotación sobre N, de modo que la
separación ocurre a lo largo de NM. El momento de vuelco debido a la presión
del agua será resistido no solo por el peso de la porción HNM del dique, sino
también por la cohesión del material, que se considera uniforme a lo largo del
NM (es decir, Bossut lo supone ‘rígido’, aunque al final de su análisis
declara que el valor de la cohesión se encuentra mediante pruebas). Si p es el
peso unitario del agua y π el peso unitario del material del dique, y
denotando la fuerza cohesiva por unidad de longitud por πN, Bossut obtiene
fácilmente la ecuación de equilibrio para HNM:
Bossut señala que el despreciar la cohesión solo puede mejorar la seguridad
del dique (‘ne fait d’ailleurs que concourir à la solidité de la digue (además
solo contribuye a la solidez del dique)’). Tomando la razón de pesos unitarios
n = p/π como 7/10, la ecuación (5.3) da x/y = 13/24, casi exactamente. Por lo
tanto, la regla práctica de una inclinación de 1 en 2 concuerda bien con esta
teoría, particularmente cuando la superficie aguas arriba se reviste con
escombros de mampostería. Bossut señala además que la superficie aguas abajo
HT no puede mantenerse vertical a menos que también se revista con
mampostería; de lo contrario, la superficie debe dársele una pendiente
‘suivant le degré de fluidité des terres (según el grado de fluidez de la
tierra)’.
La división del dique en rodajas, como en la Figura 2, y la redacción de una
ecuación de equilibrio para una porción finita HNM, es un método de ataque
seguido de cerca por Coulomb en su artículo 15, pág. 24. De hecho, la ecuación
(5.2) puede derivarse directamente considerando el equilibrio de una rebanada
delgada del dique (Figura 3).
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Figura 3. Rebanada de
análisis del dique de Bossut |
Bossut comenta (en la pág. 10) sobre la existencia de lo que ahora se llamaría
presiones de poros en el agua:
“Es evidente que en el caso de que la tierra frente a los cimientos del
paramento aguas arriba no fuera perfectamente contigua a este paramento, el
agua penetraría en este vacío (‘s’insinueroit dans ce voide’ (se arrastraría a
este vacío)) y empujaría sobre el dique en este lugar con una cabeza igual a
la altura del nivel del agua por encima del fondo del cimiento socavado.”
PIERRE (PETRUS) VAN MUSSCHENBROEK (1692-1761)
En 1729 Musschenbroek publicó en Leyden sus Physicae experimentales, et
geometricae... Dissertationes; este libro contiene la extensa sección (pp.
421-672) ‘Introductio ad cohaerentiam corporum firmorum’, en la que
Musschenbroek ofrece los resultados de una gran cantidad de pruebas de
materiales en tensión, flexión y compresión, principalmente en una variedad de
tipos de madera; también se informan algunas pruebas de tracción en cables
metálicos. Se incluyen descripciones y grabados de las máquinas de prueba
(Figura 4).
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Figura 4. Máquina de
ensayo de tracción de Musschenbroek |
Las pruebas de flexión confirman el resultado de Galileo de que la resistencia
final de las vigas rectangulares es proporcional al ancho y al cuadrado de la
profundidad. Las pruebas de compresión son las primeras registradas para los
puntales, y Musschenbroek obtuvo experimentalmente el resultado posterior de
Euler de que la carga de pandeo (Figura 5) era inversamente proporcional al
cuadrado de la longitud. Por lo tanto, Musschenbroek estaba lidiando con
columnas esbeltas de madera, mientras que la preocupación de Coulomb eran los
robustos pilares de mampostería.
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Figura 5. Pandeo de
columnas según Euler (n = factor
numérico de condiciones de empotramiento) |
El ‘Introductio...’ inicia con (p. 431).: ‘Vocamus Cohaerentiam, Firmitatem
vel Resistentiam solidorum eam vim corporum majorum, qua partes quomodocunque
et â quacunque causa conjunctae resistunt divulsioni aut fracturae... (Exige
consistencia, durabilidad y resistencia a los cuerpos del peso de los sólidos,
y las partes de cualquier forma y por cualquier motivo conectadas resisten una
rotura o fractura…).’
La referencia de Coulomb es el Essai de Physique de 1739, que contiene la nota
de que fue traducido del holandés. El Capítulo 19 de este trabajo, De
l’Adhérence des Corps, contenido en las páginas 344-61, comienza:
“Nous appellons Adhérence, ou Cohésion, cette condition et force des Corps,
par laquelle leurs parties s’opposent à leur séparation...”, que es una
traducción exacta del latín de 10 años antes. El capítulo 19 del texto francés
es, de hecho, un resumen en menos de 20 páginas de las 250 páginas del latín.
Se registran las resistencias de varios materiales, pero no hay una
descripción del aparato de prueba. Sin embargo, se añaden algunos resultados
experimentales en francés; en particular, la prueba en una columna (pilastra)
de ladrillos no es atractiva en latín. Solo se citan algunas de estas pruebas
‘robustas’, y Musschenbroek no modifica su ‘fórmula de Euler’.
La columna de ladrillo se rompió en 195 lb (Coulomb p. 13); la carga de pandeo
de Euler (suponiendo un módulo elástico de 3x106 lb/in2) es de aproximadamente
560 lb. Una prueba en una columna de ladrillo de dos veces la longitud podría
haber dado una carga de rotura algo menor a 140 lb. Quizás sea significativo
que, al refutar a Musschenbroek, Coulomb elige reducir a la mitad la longitud
en lugar de duplicarla.
Los niveles de esfuerzos, tanto en la construcción en madera como en la
mampostería, son extraordinariamente bajos, y esto está implícito en la
fantasía de ‘rascacielos’ de Coulomb (p. 14). En la práctica, existe
relativamente poco peligro de falla, ya sea por inestabilidad o por
aplastamiento. El propio Coulomb no considera ninguno de los modos en su
análisis de arcos, y los resultados de Musschenbroek sobre la resistencia del
material y la estabilidad de los miembros a compresión no son relevantes para
el diseño del arco.
Musschenbroek lo menciona al pasar por el problema de las pilastras en las
iglesias, y calcula una carga de ruptura; sin embargo, incluso para los
pilares que soportan una superestructura, los esfuerzos siguen siendo muy
pequeños. Esta aplicación más amplia se refleja en breves párrafos de la p. 2,
y más adelante en las págs. 14-15, del ‘Essai’ de Coulomb. Musschenbroek usa
adherencia y cohesión (Adhérence, ou Cohésion) como sinónimos.
LEONHARD EULER (1707-83)
El documento citado es una obra temprana, publicada 16 años antes que el libro
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, que
aplica métodos variacionales para el problema de determinar la forma en que
cuelga una cadena y otros, como el famoso problema de la deformación por
pandeo de columnas. Euler volvió a este último problema en 1757 en su
artículo: ‘Sur la force des colonnes (Sobre la fuerza de las columnas)’, Mém.
Acad. Berlin (Figura 6).
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Figura 6. Obras de
Euler en el ‘Essai’ de Coulomb |
El artículo de 1728 se refiere tanto a James como a Daniel Bernoulli, y es un
correcto y aburrido catálogo de la forma de una cadena flexible bajo diversas
condiciones de carga. Coulomb observa con justicia, p. 30 que, aunque él y
Euler tienen la misma fórmula general, no hay nada más en común. Euler trata
con una cadena flexible cuya forma sigue exactamente la línea de tensión,
mientras que Coulomb trata con un arco de espesor finito cuya línea de empuje
no está obligada a seguir la forma de la línea central del arco.
JAMES (JACOB, JACQUES, EL ANCIANO) BERNOULLI (1654-I705)
Hermano mayor de Johann Bernoulli, tío de Daniel y Nicholas; Jacques (el más
joven) (1759-89), era sobrino de Daniel. El documento ‘Problema de Curvatura
fornicis, cujus partes se mutuo proprio pondere suffilciunt sine opere
caementi’, Opera, vol. 2, p. 1119, se incluye entre la Varia Posthuma. El
artículo es de solo cinco páginas, y contiene poco que no fuera presentado por
Gregory. La primera solución de Bernoulli (correcta) es observada por él como
idéntica con la de Gregory (‘… quod indicat curvam Catenariam, ut habet
GREGORIUS (lo que indica que la curva de la catenaria, por lo que tiene
GREGORY)’). Su segunda solución es, como afirma Coulomb, incorrecta, y parece
que no tiene sentido referirse a Bernoulli. Sin embargo, es interesante que
Coulomb conociera el trabajo de Bernoulli. En el mismo vol. 2 de la Opera se
reproduce (p. 976) la carta publicada en la Histoire de l’Académie des
Sciences de 1705: ‘Véritable Hypothèse de la Résistance des Solides, Avec la
Démonstration de la Courbure des Corps qui font ressort. (Verdadera hipótesis
de la resistencia de los sólidos, con la demostración de la curvatura de los
cuerpos que hacen resorte)’. Esta carta de 14 páginas contiene la solución del
problema de la flexión elástica de un voladizo, en el que Bernoulli obtiene la
forma correcta pero las constantes numéricas incorrectas (Figura 7). Su
diagrama es muy similar al de la figura 6 de Coulomb; Bernoulli continuó
asumiendo (como Galileo) que la rotación se produjo en la raíz alrededor del
punto inferior de la viga, por lo que su solución no satisfizo el equilibrio
horizontal. Coulomb estaba interesado en la resistencia de un voladizo, y
Bernoulli en sus propiedades elásticas.
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Figura 7. Obra de
Jakob Bernoulli sobre flexión de vigas en voladizo |
PHILLIPE DE LA HIRE (1640-1719)
Proposición 125, p. 465, de Traité de Mécanique (1695, más tarde reimpresa en
1730 en el volumen 9 de las Mémoires de l’Académie Royale des Sciences), se
ocupa del peso que se debe dar a cada voussoir (dovela) de un arco para que
todas las voussoirs estén en equilibrio, a pesar de que sean lisas y puedan
deslizarse libremente una sobre otra. ‘C’est une des plus difficiles questions
qu’il y ait dans l’Architecture, que de sçavoir la force qu’on doit donner aux
murs & aux piédroits qui soutiennent des voutes & des arcs, pour
résister à l’effort que font les voussoirs qui les forment, pour les écarter
(‘Es una de las cuestiones más difíciles que hay en Arquitectura, conocer la
fuerza que se le debe dar a los muros e impostas que sostienen bóvedas y
arcos, resistir el esfuerzo los segmentos que los forman, para alejarlos)’.
Por lo tanto, el problema que La Hire desea resolver es el del diseño de los
pilares o contrafuertes de un arco, para que se mantengan firmes bajo el
empuje de las dovelas, es decir, se requiere el valor del empuje del arco. El
modelo conceptual del arco de La Hire, en el que las dovelas pueden deslizarse
sin fricción, lo lleva a investigar el infructuoso problema inverso de las
condiciones para la estabilidad del modelo. Resuelve este problema
construyendo un polígono de fuerza que involucra los pesos de las dovelas y el
polígono funicular correspondiente para el arco. Para un arco de forma dada
con dovelas lisas (La Hire toma el arco de medio punto (semi circular) como
ejemplo), el polígono funicular se puede dibujar de inmediato; entonces se
puede construir el polígono de fuerza y, por lo tanto, determinar los pesos de
las dovelas.
Finalmente, la posición del polo del polígono de fuerza determina el empuje
horizontal del arco. Dado que línea de imposta (línea horizontal que forma la
base de las dovelas de imposta de un arco de medio punto (semi circular) son
horizontales (Figura 8), La Hire deduce que los pesos de las dovelas de
imposta (springing o dovelas ubicadas sobre los pilares. Figura 9) deben ser
infinitos y, por lo tanto, concluye que dicho arco compuesto de dovelas lisas
no puede sostenerse. Sin embargo, señala que en la práctica las dovelas no
pueden deslizarse una sobre la otra, por lo que no es necesario seguir
exactamente los cálculos teóricos, sino solo usarlos como guía.
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Figura 8. Línea de
imposta horizontal de las dovelas de un arco semi circular (de medio punto)
sobre los pilares de base. Pied-droit
corresponde a la dovela de base o imposta |
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Figura
9. Partes de un arco |
La Hire volvió al problema 17 años después, y usó casi el mismo preámbulo en
su Memoria de 1712 sobre arcos: “C’est un problème des plus difficiles qu’il y
ait dans l’Architecture, que de connoître la force que doivent avoir les
pieds-droits des Voûtes pour en soutenir la poussée... (Es un problema de lo
más difícil que hay en Arquitectura, conocer la fuerza que deben tener las
impostas de las Bóvedas para soportar el empuje)’; pero aquí, aparentemente
insatisfecho con el tratamiento basado en dovelas lisas, propone una teoría
más representativa del arco real. La Hire comenta que cuando los pilares de un
arco son demasiado débiles para soportar el empuje, el arco se rompe en una
sección en algún lugar entre la imposta (springing) y la piedra angular o
clave (keystone). En su figura 1 (Figura 10) considera que la junta LM es
crítica, y el bloque LMF se considera entonces como una sola dovela, al igual
que el bloque LMI que descansa sobre el pilar IBHS.
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Figura 10. Análisis
de dovela de La Hire (1712) |
En la Figura 11 al considerar el equilibrio vertical del bloque superior, se
puede encontrar el empuje P, y La Hire supone que este empuje actúa
tangencialmente al intradós en el punto L. Entonces, tomando momentos
alrededor de H para la porción inferior del arco y el pilar, se puede derivar
una ecuación que exprese la estabilidad de toda la estructura.
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Figura 11. Equilibrio
vertical del bloque superior del arco de La Hire |
Las líneas de construcción en la figura de La Hire dan ciertos triángulos
similares a partir de los cuales la ecuación de estabilidad se puede deducir
semi gráficamente. El hecho de que la línea de empuje es tangencial al
intradós en la sección crítica parece una suposición “natural”, pero La Hire
no comenta sobre esto. Tampoco da ninguna regla para localizar el punto
crítico L, es decir, para determinar el ángulo LCE.
Las mismas ideas se aplican luego al caso de la plate-bandes (Figura 12). Como
señala Coulomb (observaciones finales, p. 40), puede ser posible
encontrar un caso más crítico para algunos arcos planos. La declaración de que
la ‘dovela’ superior LMF permanece sólida no está sujeta a ningún escrutinio
por parte de La Hire; de hecho, puede ser imposible para algunos arcos planos
(por ejemplo, para una plate-band (banda de placa) delgada) continuar la línea
de empuje de tal manera que permanezca dentro de la mampostería. Es decir, no
se ha demostrado que la segunda condición de equilibrio de Coulomb se
satisfaga para la parte central del arco entre L y la piedra angular.
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Figura 12. Tipos de plate-bandes |
BERNARD FOREST DE BELIDOR (1697-1761)
Escribió varios textos de ingeniería, entre ellos el octavo Dictionnaire
portatif de l’ingénieur (1755) y el Architecture Hydraulique (1737-53) en
cuatro volúmenes. La science des ingénieurs (1729) mencionado por Coulomb
también tiene la naturaleza de un manual de ingeniería. Aunque se publicaron
en cuarto, los seis libros de entre 60 y 100 páginas cada uno, están numerados
por separado y tienen sus primeras páginas decoradas individualmente. El libro
1 de 80 páginas tiene el título actual de la Théorie de la Maçonnerie. Los
primeros tres capítulos tratan de nociones elementales de estática, y se
muestra cómo se puede determinar el espesor de un muro de contención para
resistir una fuerza de vuelco dada debido a la presión de tierra.
Los valores reales de los empujes del suelo se encuentran en el capítulo 4:
‘De la manière de calculer la poussée des Terres que soutiennent les
revêtements des Terrasses & des Remparts, afin de savoir l’épaisseur qu’il
Faut Leur Donner (Cómo calcular el empuje de tierra soportado por los
revestimientos de las Terrazas y Terraplenes, para conocer el espesor que se
les debe dar)’. Bélidor comienza señalando que los suelos recién removidos
(nouvellement remuées) y no compactados (sans être battuës) tienen una
pendiente natural de aproximadamente 45° en promedio (menos empinada para la
arena y más empinada para los suelos arcillosos (grasses et fortes)). A partir
de esta observación experimental, deduce que la función del muro de contención
es mantener la presión de un prisma de 45°, es decir, evitar que una cuña de
tierra se deslice a lo largo de un plano de esta pendiente. Calcula la presión
del fluido de una cuña triangular de 45°, y luego declara que la tenacité del
suelo reducirá el empuje a la mitad del valor calculado. Por lo tanto, su
valor final para el empuje del suelo es la mitad del peso de la cuña
triangular (1/4γh2, donde γ es la densidad del suelo y h la altura del muro de
contención), actuando a una distancia 1/3h sobre la base del muro. Suponiendo
que la densidad de la mampostería es un 50% mayor que la del suelo, es fácil
encontrar las dimensiones necesarias de un muro de contención de cualquier
forma requerida.
Bélidor observa el profil général de Vauban para todos los muros de 10 pies a
80 pies de altura. Estas dimensiones ‘universales’ fueron diseñadas para
permitir una gran variedad de condiciones prácticas; el espesor de la cresta
se especificó en 4,5 pies en piedra de buena calidad, o 5,5 pies (o más) para
piedra más pobre, con una inclinación estándar de 1 en 5 (ver las
observaciones de Coulomb en p. 20). Bélidor afirma que la mayoría de los
ingenieros consideran que la masa es demasiado grande, pero él mismo
proporciona tablas con este valor para alturas de muro de 10 a 100 pies en
pasos de 5 pies (Figura 13). Su ancho de cresta para un muro de 35 pies de
altura es 5 pies 6 pulgadas 11 líneas (véase el valor de Coulomb de 5 pies en
la página 20). Además, sus espesores para muros de altura 10, 15 y 20 pies son
1 pie 9 pulgadas 1 línea, 2-6-2 y 3-3-5 respectivamente, y estos valores
respaldan los comentarios de Coulomb en la pág. 20.
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Figura 13. Tabla de
Bélidor para dimensionamiento de muros de revestimiento |
Bélidor presta cierta atención al factor de seguridad y, en un ejemplo
numérico, aumenta las dimensiones del muro de contención para obtener un
factor de seguridad de 1.2 (véase el valor de Coulomb de 1.25 en la página
20). También se hacen cálculos para muros con parapetos y para muros con
contrafuertes (las tablas de Vauban estaban destinadas solo a muros reforzados
con contrafuertes); los espacios estándar para los contrafuertes se toman a 15
pies y 18 pies.
El libro 2 de 64 páginas tiene el título actual de la Mécanique des Voûtes (de
la mecánica de las bóvedas). El primer capítulo trata sobre los arcos de
voussoir y sus empujes, y comienza rechazando la regla empírica de Blondel
(Figura 14). El intradós del arco se divide en tres cuerdas iguales AC, CD y
DB; DBE es una línea recta con DB = BE, y el punto E ubica el borde exterior
del pilar de soporte. Bélidor comenta que la regla no involucra el espesor del
arco ni la altura de los pilares. (La segunda crítica, al menos, quizás no sea
importante; Moseley demostró en 1843 que se podía asignar un ancho finito a
los pilares para llevar un empuje dado, independientemente de su altura). Sin
embargo, Bélidor está tratando de estudiar la mecánica de los arcos, y no se
contenta con las reglas empíricas a menos que sean el resultado de una
investigación matemática. De hecho, su trabajo en arcos se basa firmemente en
el tratamiento de La Hire (Figura 10). Bélidor supone que la sección más débil
del arco está a 45° de la corona, y la estadística simple da el valor del
empuje en la sección LM como √2W, donde W es el peso del voussoir LMF. Sin
embargo, no sigue a La Hire exactamente. Además de introducir el valor de 45°,
no toma el empuje para actuar a través del punto L en el intradós, sino en el
punto medio de LM; esto conduce a pilares ligeramente más gruesos para el
mismo valor (√2W) del empuje. Como excepción, el empuje se toma para actuar a
través de L como ejemplo de un arco elíptico; se considera que el punto L está
a la mitad de la elipse desde la imposta hasta la piedra angular o clave
(Figura 14).
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Figura 14. Análisis
de arco de Bélidor |
Los capítulos 2, 3 y 4 se ocupan del cálculo de las dimensiones necesarias
para los pilares de soporte para varias formas de arco; Se hace una referencia
pasajera a la catenaria y a la catenaria invertida (ver L’essai sur la statique – 1a Parte). En un cálculo para el cual el ancho del muelle es de 6
pies 6 pulgadas 7 líneas, Bélidor señala que esta es la dimensión adecuada
para la estabilidad; se proporcionaría un margen de seguridad ya sea agregando
contrafuertes o aumentando el ancho del pilar en 5 o 6 pulgadas a
aproximadamente 7 pies (este aumento no solo hace que el pilar sea más pesado;
el brazo de la palanca también se incrementa, de modo que un pilar de 7 pies
tendrá un momento de vuelco 16 por ciento mayor que un pilar de 6 pies 6
pulgadas).
El Libro 3 de 96 páginas, de la Construction des Travaux, es una discusión
cualitativa de las propiedades de los materiales de construcción, y se dan
notas detalladas sobre piedra caliza, ladrillo, arena, puzolana, yeso y
mortero. Los pesos unitarios se dan para una variedad de materiales, incluidos
metales (hierro, latón, cobre, plomo), varias arenas y arcillas, ladrillos,
varias piedras de construcción y varios tipos de madera, pero no se dan otras
propiedades cuantitativas (Figura 15). Esta sección también contiene un
conjunto de tablas mucho más completo que las que figuran en el libro 1 para
las dimensiones de muros de contención con contrafuertes, con inclinaciones de
1 en 5 a 1 en 10 (en pasos unitarios) con alturas de 10 pies a 100 pies en
pasos de 5 pies. Las tablas son un apéndice del libro 1, y fueron diseñadas
por Bélidor para liberar al ingeniero del tedio de hacer sus propios cálculos.
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Figura 15. Tabla de
pesos unitario de Bélidor en La science
des ingénieurs |
El Libro 4 consta de 104 páginas sobre diferentes tipos de edificios civiles y
militares (de la Construction des Edifices Militaires & civils), pero
comienza presentando algunas pruebas experimentales sobre la resistencia de
las vigas de madera. Ocho experimentos, cada uno en tres muestras idénticas,
fueron hechos por 20 o 25 Oficiales de Artillería de l’École de la Fere, ‘...que se presentaron en el Arsenal de ese lugar, para convencerse de lo que me
habían escuchado decir sobre la resistencia de la madera...’. Las pruebas se
realizaron tanto en vigas simplemente apoyadas como en vigas con extremos
fijos. Bélidor señala que los resultados de las pruebas concuerdan assez bien
con los de Parent, y se refiere específicamente a las Mémoires de Parent
presentadas a la Académie. Por implicación, Bélidor no conocía la recopilación
de Essais et recherches ... de Parent de 1713, en la que se da la primera
solución completamente correcta del problema de flexión.
El propio Bélidor continúa colocando el eje neutral en la superficie de la
viga y confirma que Galileo descubrió que la resistencia de una viga
simplemente apoyada es proporcional al cuadrado de la profundidad. En teoría
también, Bélidor afirma que las vigas de extremo fijo deberían fallar por
fractura en ambos extremos y en el centro; en este caso, cree que la carga
debería “ejercer un tercio de su peso en cada sección que pueda fracturarse”,
lo que aparentemente haría que la viga sea tres veces más fuerte que una viga
simplemente apoyada. (Sin embargo, no declara explícitamente este factor de
3.) En las pruebas reales, Bélidor no logró romper las vigas en sus extremos,
y señala que un empotramiento ligeramente imperfecto explicaría esto. Sin
embargo, está convencido de la virtud de proporcionar extremos fijos siempre
que sea posible; de sus propias pruebas, concluye que sería seguro permitir un
aumento del 50% del valor de la carga (puntual) sobre el caso simplemente
apoyado.
El Libro 5 de 80 páginas, de la Décoration, es un tratamiento ‘arquitectónico’
de edificios, que trata temas como las Órdenes clásicas, la conicidad y la
éntasis de las columnas, etc. El libro 6, también de 80 páginas, de la manière
de faire les Devis (como hacer cotizaciones), trata sobre la preparación de
especificaciones y contratos.
Referencias
Gillmor, C. S. (1968). “Charles Augustin Coulomb: Physics and Engineering in
Eighteenth-Century France,” PhD dissertation, University of Princeton.
Gillmor, C. S. (1971). Coulomb and the Evolution of Physics and Engineering in
Eighteenth-Century France, Princeton University Press, Princeton, New Jersey,
U.S.A.
de Boer, R. (2000). Theory of Porous Media: Highlights in Historical
Development and Current State. Springer. Verlag. Berlin. Heidelberg. New York.
Galindo, J.A. (1996). El conocimiento constructivo de los ingenieros militares
del siglo XVIII. Un estudio sobre la formalización del saber técnico a través
de los tratados de arquitectura militar. Tesis doctoral en línea, disponible
en http://www.tdr.cesca.es/TESIS_UPC/AVAILABLE/TDX-1014102-085840//01TESIS.Pdf
Heyman, J. (1972). Coulomb's Memoirs on Statics: An Essay in the History of
Civil Engineering. Cambridge, U.K.
Heyman, J. (1998). Structural Analysis. A Historical Approach. Cambridge
University Press.
https://www.iberlibro.com/primera-edicion/1-RECHERCHES-CONSTRUCTION-AVANTAGEUSE-DIGUES-2-TH%C3%89ORIE-FLEUVES/30617677064/bd#&gid=1&pid=2https://www.pinterest.es/pin/396457573419864468/
Cita
Osorio, S. (2021). L'essai de 1773 sur la statique - 5a parte. Relatos de la Geotecnia. Blogger.com. geotecnia-sor2.blogspot.com. https://geotecnia-sor2.blogspot.com/2021/10/lessai-de-1773-sur-la-statique-5a-parte.html
Relatos de la Geotecnia
+ Apuntes de Geotecnia con Énfasis en Laderas
Ir a:
1 - Martinique, Antilles - France Février 1764 (Martinica, Antillas - Francia , febrero de 1764)
2 - Angoulême, province d'Angoumois - France 14 juin 1736 (Angoulême, provincia de Angumois - Francia, 14 de junio de 1736)
3 - Mézières, département des Ardennes - France 11 février 1760 (Mézières, departamento de Ardennes - Francia, 11 de febrero de 1760)
4 - Paris - France 10 mars 1773 (París - Francia, 10 de marzo de 1773)
5 - L'essai de 1773 sur la statique - 1a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 1a Parte)
6 - L'essai de 1773 sur la statique - 2a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 2a Parte)
7 - L'essai de 1773 sur la statique - 3a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 3a Parte)
8 - L'essai de 1773 sur la statique - 4a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 4a Parte)
10 - L'essai de 1773 sur la statique - 6a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 6a Parte)
11 - L'essai de 1773 sur la statique - 7a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 7a Parte)
12 - L'essai de 1773 sur la statique - 8a parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 8a Parte)
13 - La vie de Coulomb après l’Essai de 1773 (La vida de Coulomb posterior al 'Essai' de 1773)Apéndice A - Fuerte Bourbon (1765-1772)
Apéndice C - La Estática de las Siete Máquinas Simples
Apéndice D - La Statique (La Estática)
Apéndice E - Mécanique Classique (Mecánica Clásica)
Apéndice F - De la résistance des matériaux (De la Resistencia de Materiales)
Diseño: PatoMOP
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