L’essai de 1773 sur la statique – 7a Parte
Por: Santiago Osorio R.
Séptima parte de la quinta entrega de la serie ‘DU PLAN INCLINÉ À LA
THÉORIE DU COIN DES TERRES’ (Del plano inclinado a la teoría de la cuña de suelo), una visión detallada del aporte de Charles Augustin Coulomb
a la consolidación de la teoría clásica de la mecánica de suelos. Octubre 16
de 2021.
Jacques Heyman hizo en 1972 una traducción anotada del ‘Ensayo sobre la Estática’ de Coulomb, con comentarios sobre las referencias de Coulomb. Sus comentarios sobre la ecuación de Mohr-Coulomb, sobre la estática límite del suelo, sobre la flexión de las vigas y sobre los mecanismos de falla de los arcos de mampostería con bisagras plásticas, están en el contexto de los teoremas de la plasticidad estructural de límites superior e inferior. Contiene notas históricas sobre el trabajo y el tiempo de Coulomb.
La proposición que abre el ‘Essai’ de 1773 de Coulomb supone que una columna (pilastra) está cortada por un plano inclinado de tal manera que las dos porciones están conectadas en el corte por una cohesión dada, mientras que todo el resto del material tiene una resistencia perfecta. La columna está cargada por un peso, lo que hace que la parte superior de la pilastra se deslice a lo largo del plano inclinado. Coulomb resuelve los componentes de carga a lo largo y normal al plano inclinado y determina la inclinación del plano para el cual la cohesión y la fricción se combinan para dar la mayor carga. Según Andrew Schofield a la teoría de Coulomb le faltó considerar el efecto del interlocking (entrabamiento o enclavamiento).
Coulomb declara tres veces en el ‘Essai’ un principio que no se discutió en el momento de la traducción de Heyman, pero es tan importante que puede denominarse como Ley de Coulomb: “el suelo recién remoldeado no tiene cohesión” (Schofield, 1998).
Coulomb fue elegido miembro de la section de physique expérimental del Instituto en 1795, para entonces un físico notable. En el momento en que escribió su ‘Essai’ veinte años antes, escribió solo como ingeniero después de trece años de servicio como ingeniero, con modestia y esperanza.
“de rendre les principes dont je me suis servi assez clairs pour qu’un Artiste un peu instruit pût les entendre & s’en servier”
“Ce Mémoire, composé depuis quelques années, n’étoit d’abord destiné qu’à mon usage particulier, dans les différens travaux dont je suis chargé par mon état ; si j’ose le présenter à cette Académie, c’est qu’elle accueille toujours avec bonté le plus foible essai, lorsqu’il a l’utilité pour objet.”
“para dejar los principios que utilicé lo suficientemente claros como para que un obrero algo educado los escuche y los use”
“Esta Memoria, compuesta hace unos años, fue originalmente pensada sólo para mi uso particular, en las diversas obras de las que soy responsable por mi condición; si me atrevo a presentarlo a esta Academia es porque siempre recibe con amabilidad el ensayo más débil, cuando tiene por objeto la utilidad”.
El Glacis de Vauban
El mariscal Vauban, muy preocupado por la pérdida de vidas francesas,
escribió libros sobre defensa y ataque de lugares. Para hacer la vida más
segura en un fuerte, con menos necesidad de maniobrar en la batalla al aire
libre y sufrir numerosas bajas por artillería tirada por caballos; el
sistema de fortificación de Vauban se aplicó a todos los fuertes que
defendían a Francia.
El sistema de protección del mariscal Vauban era el siguiente: A un corto
espacio de distancia, fuera de un muro de una fortaleza, se construye un
nuevo muro de mampostería, ligeramente más bajo, hacia adentro. Contra este
nuevo muro se construye una nueva obra de tierra con una larga pendiente de
tierra llamada un ‘glacis’. Este glacis (Figura 1) mantiene a la fuerza
atacante lejos del fuerte e impide que sus cañones disparen contra la base
del muro. Las nuevas fortificaciones se diseñaron con una forma de estrella
en planta. Las baterías defensivas de cañón se colocaron en lo alto de los
muros. Tanto la pendiente del glacis como la zanja entre el glacis y la
fortaleza podrían ser barridas por fuego de cañón. Para tomar el fuerte, las
tropas atacantes tenían que toparse con esta zanja, con escaleras de
ascenso, apoyadas por granaderos atacantes que llevaban granadas de mano por
el glacis. Sus líderes encenderían los fusibles. Los granaderos lanzaban sus
granadas contra los defensores en su muro. Todos los atacantes, tanto
aquellos con escalas de ascenso como los granaderos en el glacis, estaban
expuestos a cañones defensivos y fuego de mosquete a corta distancia.
La mayoría de los visitantes geotécnicos de hoy no saben nada de la
Conquista de Constantinopla en 1453. Si Coulomb o cualquier veterano de la
guerra del Duque de Wellington en la Península Ibérica hubiera caminado a lo
largo de los muros de Teodosio, ellos habrían sabido todo acerca de la
protección del fuego de cañón. En 1764, cuando Coulomb era un joven oficial
de ingenieros del ejército francés, los franceses y los británicos estaban
en guerra. Fue reclutado para Martinica, en las Indias Occidentales donde se
construiría un fuerte para defender la isla del poder marítimo británico, se
hizo cargo del trabajo y se quedó nueve años, enfermó y tuvo que regresar a
Francia.
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Figura. 1 Un glacis (izquierda) protege una muralla
del fuego de cañón |
Una alternativa a la enseñanza sobre la fricción en la escuela Corps du Génie
Vauban vio la importancia de entrenar a los ingenieros del ejército. Formó
el Corps du Génie en 1676 y en 1749 se fundó una escuela de ingeniería del
ejército en Mézières. Coulomb fue un estudiante que ingresó a esa escuela en
1760. Se graduó en noviembre de 1761 después de haber estudiado matemáticas
y mecánica y el manual de diseño francés, Bélidor (1737) “Architecture
Hydraulique (Arquitectura hidráulica)”. Bélidor declaró qué fuerza lateral
actúa sobre un muro que retiene un glacis recién colocado. Supuso que cuando
la mampostería cayera, la tierra retenida caería en una pendiente natural en
un ángulo de reposo, que supuso sería de 45°. Calculó que el muro debía
contener una cuña de tierra deslizándose en esta pendiente natural en la
parte posterior del muro (Figura 2). Coulomb (1773) mejoró este diseño,
usando el cálculo para encontrar la ubicación de un peor plano de falla de
deslizamiento dentro de la tierra retenida, más inclinado que 45°.
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Figura 2. Planos de deslizamiento del suelo detrás de los muros de contención (A.N. Schofield, 2005) |
Bélidor tenía la teoría que la fricción deslizante dependía de la geometría
de las superficies irregulares en contacto. Supuso que cada aspereza es un
hemisferio, y descubrió que, para que un hemisferio pasara por encima de la
silla de montar entre los otros dos hemisferios, las superficies deslizantes
debían separarse con un ángulo de dilatación de aproximadamente 30°. Esto
explica de manera conveniente por qué se encontró que diferentes materiales
tales como hierro y cobre, plomo y madera tenían coeficientes de fricción de
aproximadamente 1/3. Leslie relacionó el concepto de que la fricción se debe
a la dilatación con el ‘Essai’ de Coulomb. John Leslie (1766-1832) fue un
científico escocés, elegido profesor de Física en la Universidad de
Edimburgo por su trabajo sobre calor radiante en un libro (Leslie 1804), en
el que también analiza la generación de calor por fricción. Leslie escribe
sobre la resistencia a la fricción al deslizamiento de la siguiente
manera.
“Si las dos superficies que rozan entre sí son ásperas y desiguales, hay un
desperdicio de fuerza necesario, ocasionado por el desgaste y la abrasión de
sus prominencias. Pero la fricción subsiste después de que las superficies
contiguas se trabajan lo más regular y suave posible. De hecho, el pulimento
más elaborado no puede operar otro cambio que disminuir el tamaño de las
asperezas naturales. La superficie de un cuerpo, siendo moldeada por su
estructura interna, evidentemente debe estar surcada, dentada o serrada. La
fricción es, por lo tanto, comúnmente explicada en el principio del plano
inclinado, del esfuerzo requerido para hacer que el peso predominante se
monte sobre una sucesión de eminencias. Pero esta explicación, como sea que
se repita actualmente, es bastante insuficiente. La masa que se dibuja no es
continuamente ascendente: debe alternativamente subir y bajar: porque cada
prominencia superficial tendrá una cavidad correspondiente; y dado que el
límite de contacto se supone horizontal, las elevaciones totales se
igualarán con sus depresiones colaterales.”
Coulomb (1781) ganó un doble premio de la Academia Francesa por el artículo
“Théorie des Machines Simples” sobre la fricción en las superficies de los
cojinetes. Incluía el análisis del “círculo de fricción” para los cojinetes
planos en máquinas simples y también incluye guías deslizantes para el
lanzamiento de cascos de barco. Probó las superficies de todos los
materiales con todos los lubricantes disponibles para los arquitectos
navales, incluidos todos los tipos de madera y grasa Su artículo también
especula que cuando la madera se desliza sobre la madera, las fibras de la
madera se rozan entre sí. A medida que las fibras se doblan lentamente
almacenan energía y, cuando un extremo de una fibra roza una restricción y
se libera, parte de la energía almacenada en ella se disipa. Hay flujos
transitorios de lubricante entre las fibras cuando se mueven, o cuando el
deslizamiento se detiene o se reinicia. Coulomb midió variaciones
transitorias de resistencia al deslizamiento para superficies de madera que
no observó en superficies metálicas.
La resistencia del suelo
La teoría normal de la resistencia del suelo (que es anterior a Coulomb) es
que el esfuerzo efectivo en superficies potenciales de falla alcanza valores
límite, y los cuerpos de suelo denso se agrietan o se deslizan con una
resistencia al corte que es una suma de cohesión y fricción. En esa teoría
normal, la resistencia máxima incluye cementar o unir los granos del suelo.
La adherencia, la fricción y la cohesión son los puntos fuertes con los que
el suelo resiste las grietas o resiste la falla del plano de
deslizamiento.
Coulomb estudió en l’École du Corps Royale du Génie en Mézières. La
educación allí se basó en el libro de Bélidor (Architecture Hydraulique,
Paris, 1737) que enseñaba que el movimiento de superficies de deslizamiento
entrabadas causa fricción. Representó la rugosidad superficial por
hemisferios que deben treparse uno sobre el otro. El ángulo de dilatación
dio un coeficiente de fricción. Él no consideró ‘entrabamiento negativo’
(negative interlocking). La nueva edición de Bélidor relizada por Navier
(1819) reprodujo esta teoría sin cambios. Leslie (An experimental inquiry
into the nature and propagation of Heat, London, 1804) (y sin duda otros)
notó que la dilatación no podía aplicarse a la fricción en el deslizamiento
continuo, solo al movimiento inicial. Pero Bélidor, Coulomb y Navier
aceptaron la premisa de que los planos de deslizamiento existen y que el
coeficiente de fricción observado se debe al entrabamiento. O bien la
fricción o bien el entrabamiento entraron en su cálculo de diseño, pero no
ambos. Para corregir su error, debemos revertir la forma convencional de
pensar.
El concepto de resistencia del suelo del siglo XVIII es: resistencia =
fricción + cohesión. Se pensó que la fricción observada en pendientes en
reposo se debía al entrabado, no a la disipación de energía, y se pensó que
la cohesión medida en tensión directa era la misma que la resistencia de
cementación en cizalla.
El plano de deslizamiento
A Coulomb se le enseñó la teoría de la fricción de Amontons sobre la
fricción en los planos de deslizamiento y la teoría de cohesión de
Musschenbroek, pero experimentos simples lo llevaron a cuestionar estas
teorías del siglo XVIII sobre la resistencia del suelo y las rocas. Al
encontrar la presión de tierra en las murallas utilizando el modelo del
plano de deslizamiento, desarrolló un nuevo cálculo que mejoró lo que le
habían enseñado en Francia. Cuando regresó a Francia (con problemas de salud
después de 9 años de servicio en el extranjero en una isla afectada por la
fiebre amarilla), incluyó su nuevo cálculo de la presión de tierra en el
‘Essai’ de 1773 a presentar a la Academia.
Desde comienzos del siglo XVIII los ingenieros han definido el
comportamiento alterado del suelo por las propiedades de resistencia del
plano de deslizamiento. Coulomb aplicó el modelo de plano de deslizamiento a
suelos y rocas alterados y no alterados en un ensayo escrito en francés, ‘On
an Application of the Rules of Maximum & Minimum to Some Statical
Problems Relevant to Architecture’ (Sobre una aplicación de las reglas de
máximo y mínimo a algunos problemas de la estática relevantes para la
arquitectura) (Coulomb, 1773). Ese ‘Essai’ fue sobre los estados límites de
la construcción en mampostería.
El concepto de plano de deslizamiento se deriva de Amontons (De la
résistance causée dans les machines… Paris, 1699). Describió la resistencia
al deslizamiento de las superficies sólidas en las máquinas por un
coeficiente de fricción constante denotado por μ. En su teoría, 𝜙 es un
ángulo límite en el cual los vectores de fuerza pueden inclinarse hacia
superficies sólidas, donde μ = tan 𝜙. Los montones cónicos de tierra suelta
drenada se mantienen en pie con un “ángulo de reposo” constante 𝜙d a
cualquier altura. Coulomb usó 𝜙d para definir la fricción interna en el
geomaterial. Cuando Coulomb aprendió la ecuación (7.1) aprendió como un
hecho que la adhesión en la tracción en los geomateriales es la misma que la
cohesión c en el corte.
τ = c + σ tan 𝜙d (7.1)
Pero cuando Coulomb (1773) ensayó la roca (caliza de Burdeos) descubrió que
esto no es un hecho cierto; tenía menos resistencia en tensión (adhesión)
que en corte directo (cohesión). La diferencia fue pequeña. Sintió que era
seguro en su propio trabajo de diseño tomar el valor de la adhesión medida
en una prueba de tensión para usar como c, la cohesión en el corte. La
alteración rompe los enlaces cementados y destruye la adhesión. Señala
varias veces que debe suponerse que el suelo recién alterado tiene cero
cohesión. Coulomb solo confía en la fricción interna 𝜙d del suelo para
diseño, no en la cohesión, entonces para él c = 0 en la ecuación de Coulomb
(ec. 7.1). Detrás de su muro de contención, Coulomb mostraba un plano de
deslizamiento incrustado en una familia de planos paralelos que le permitía
calcular una distribución triangular de presión sobre el muro. Coulomb tenía
una familia de planos deslizantes paralela a la pendiente en reposo. La
descripción de Coulomb de un “ángulo” de fricción en un plano de
deslizamiento implica que el esfuerzo intermedio no tiene ninguna función en
la falla.
Coulomb calculó una distribución triangular de la presión de tierra activa
en el muro al considerar una familia de muchos planos paralelos de esfuerzos
limitante a través de la tierra suelta. Trató de considerar las superficies
curvas generales de deslizamiento por el método de las rebanadas, suponiendo
equivocadamente que los vectores de esfuerzo en una longitud de superficie
de deslizamiento y en un plano vertical entre dos rebanadas tendrían ambos
un valor límite. Estaba trabajando antes de que el equilibrio del esfuerzo
en un punto de un continuo se definiera adecuadamente. Su suposición es
cierta solo en un lugar donde la superficie de deslizamiento está inclinada
respecto a la horizontal en 𝜙, no es verdadera en general. El concepto del
tensor de esfuerzo era aún desconocido cuando murió en 1806. Coulomb había
adivinado el mecanismo de falla superficial del plano de deslizamiento y
consideró que, en una pendiente en reposo, paralela a la pendiente, hay una
familia de planos de esfuerzos limitante.
El modelo de plano de deslizamiento domina la mecánica de suelos, pero
ninguna otra rama de la mecánica del continuo considera que el vector de
esfuerzos en cualquier plano sea importante. El logro notable de Coulomb al
usar el cálculo para encontrar la ecuación (7.2) y explicar cómo la fricción
y la cohesión afectan la presión de tierra lateral no descubrió una ley de
la naturaleza que haga del suelo un continuo excepcional.
Lo que los estudiantes de ingeniería civil deben aprender como la ley de
Coulomb en lugar de la Ecuación (7.1) o (7.2) es la verdad en su ‘Essai’ en
las palabras repetidas ‘La cohesión es cero en el caso de suelos
recientemente alterados’. Deben aprender a conciliar la mecánica de suelos
con la teoría de la plasticidad. La cohesión aparente del suelo es el
comportamiento debido al contacto sólido a sólido de los granos entrabados,
no a los enlaces electroquímicos que hacen que los granos sean coherentes
cuando están cerca. Si un agregado de granos sólidos se ha cementado para
formar un cuerpo sólido y luego se rompe, al principio forma grumos que
actúan como escombros blandos y se drena libremente mientras tiene grandes
huecos conectados. Los trabajadores de Coulomb excavaron el suelo con un
pico y una pala, rodaron trozos de tierra en una carretilla y los colocaron
en su lugar detrás de un muro de contención. Como los grumos formaban una
pendiente en un ángulo de reposo cuando se inclinaban hacia el relleno, a un
ingeniero del siglo XVIII le parecería tener fricción, pero no cohesión. La
introducción al ‘Essai’ de 1773 de Coulomb dice que originalmente estaba
destinado solo para su propio uso en las diferentes tareas en las que se
involucró profesionalmente. Al presentarlo a la Academia como un tema de uso
práctico, escribió que
“las Ciencias son memoriales dedicados al bien público, con cada ciudadano
contribuyendo a ellos según sus capacidades. Mientras grandes hombres,
instalados en el techo del edificio, diseñan y construyen los pisos
superiores; los trabajadores ordinarios, dispersos en los pisos inferiores u
ocultos en la oscuridad de los cimientos, solo intentan perfeccionar lo que
han creado manos más capaces.”
No informó nuevos datos de prueba que respalden una ley de resistencia del
plano de deslizamiento. Consideró el equilibrio estático de la mampostería,
y dio un cálculo mejorado de la presión de tierra lateral que otros
ingenieros podrían usar para muros rellenados.
Coulomb inventó un equilibrio de torsión preciso con el que, como
científico, obtuvo datos que aclararon la física de la interacción a una
distancia entre cargas electrostáticas. Como ingeniero, sabía que los
ingenieros de construcción que seleccionan los materiales con cuidado, y
están atentos a medida que avanza su trabajo, pueden confiar en principios
sencillos de servicio, a pesar de que estos no tienen la autoridad de la ley
física. La alteración rompe los enlaces cementados en un agregado de granos
hasta que, a medida que se rompen más enlaces, forma una pasta blanda de
granos del tamaño de limo. En última instancia, cuando se mezcla con agua,
cada grano puede actuar por separado y dispersarse de modo que se asiente
con una velocidad relacionada con el diámetro de grano pequeño, o los granos
pequeños pueden agregarse en flóculos que se depositan a una velocidad
terminal en agua relacionada con el tamaño del flóculo. En varias etapas de
perturbación a medida que el tamaño de los grumos o granos agregados y de
los poros en el agregado se hace más pequeño, el suelo alterado se vuelve
menos permeable, y si hay aire en algunos poros, el comportamiento del suelo
será demasiado complejo.
El suelo recién remoldeado no tiene cohesión
La parte del ‘Essai’ sobre la presión de tierra, se basa en un trabajo
anterior sobre fricción y cohesión realizado por Amontons, La Hire y
Musschenbroek. No fue sino hasta Cauchy que se entendió que el esfuerzo en
un punto de un continuo es un tipo de cantidad física que debe describirse
mediante una matriz de números, componentes de esfuerzos en los planos en
diferentes ángulos a través de ese punto. Para Coulomb, 50 años antes de
Cauchy, la fricción y la cohesión son propiedades disponibles en el
material. El equilibrio se altera solo si la fuerza de corte en un plano de
deslizamiento excede estos dos componentes de resistencia. El componente de
cohesión es proporcional a un área plana, pero es independiente de la fuerza
normal del plano. La fricción es proporcional a la fuerza normal en un
plano, pero independiente de su área.
Coulomb había aprendido que los cuerpos sólidos ofrecen la misma
resistencia a la separación de sus partes en corte (cohesión) que en tensión
(adhesión). Para probar y confirmar esta enseñanza, realizó experimentos
sobre rocas en tensión y corte, y en su ‘Essai’ escribió sobre sus propios
datos experimentales de la siguiente manera:
“Qu’il falloit une plus grande force pour rompre le solide, lorsque cette
force étoit dirigée suivant le plan de rupture, que lorsqu ‘elle étoit
perpendiculaire à ce plan. Cependant, comme cette différence n ‘est ici que
1/44 du poids total, & qu ‘ elle s ‘est trouvée souvent plus petite, je
l ‘ ai négligée dans la théorie que suit.”
“Que se requería una fuerza mayor para romper el sólido, cuando esta fuerza
se dirigía a lo largo del plano de falla, que cuando era perpendicular a
este plano. Sin embargo, como esta diferencia es aquí solo 1/44 del peso
total, y a menudo se ha encontrado que es más pequeña, la he abandonado en
la teoría que sigue”.
La aceptación de Coulomb de esta enseñanza llevó a su principio de que no
puede haber cohesión en el suelo recién remoldeado. En dos ejemplos en las
secciones XI y XIV, y a la mitad de la sección XV, él declara este
principio, sin énfasis, como sigue:
“Si l’on suppose l’adhérence nulle; ce qui a lieu dans les terres
nouvellement remuées:”
“Si l’adhérence δ est supposée nulle, comme dans les terres nouvellement
remuées:”
“Supposons, pour simplifier, δ = 0, ce qui a lieu pour les terres
nouvellement remuées;”
“Si suponemos que la adherencia es cero; lo que ocurre en las tierras
recientemente perturbadas:”
“Si se supone que la adherencia δ es cero, como en el suelo recién
alterado:”
“Supongamos, por simplicidad, δ = 0, que tiene lugar para tierras
recientemente perturbadas”;
Si la adhesión es igual a la cohesión, entonces la resistencia adhesiva o
cohesiva se destruye al volver a moldear. Como en la práctica, el terreno se
rompió con picos (piquetas) y el suelo roto se extrajo de los montículos
como relleno detrás de los muros de contención, Coulomb no contaba con
ninguna adhesión o cohesión para calcular la presión de tierra de tal
relleno. Él tenía un principio claro sobre la resistencia del suelo; si el
suelo está recién remoldeado, entonces no tiene adherencia ni cohesión. Él
usa la palabra “supongo” de la siguiente manera. El suelo puede haber tenido
resistencia cuando estaba intacto y perderla en algún tiempo pasado
desconocido. Si el suelo es nuevamente remoldeado, en principio su diseño no
dependerá de la adherencia o cohesión del suelo. Como ingeniero, Coulomb
debió suponer que el daño del “peor caso” ha tenido lugar en el pasado
reciente.
En ninguna parte del ‘Essai’, Coulomb escribe lo que se conoce como
“ecuación de Coulomb” por Terzaghi (en su ‘Theoretical soil mechanics’ de
1942). Esa ecuación probablemente se le había enseñado a Coulomb en su
escuela de ingeniería (l´Ecole du génie en Mézières). Es el trabajo anterior
de otros; gente como él indicó:
“Doivent seulement chercher à perfectionner ce qui des main plus habiles
ont crée.”
“Solo hay que buscar perfeccionar lo que manos más hábiles han
creado.”
La ecuación de presión de tierra lateral escrita en la sección X, que los
ingenieros geotécnicos deben aprender como la ecuación de Coulomb, es
(ecuación 7.2)
cuyo contexto es:
“Chercher la plus grand pression A pour l’empêcher de glisser ... pour le
triangle de la plus grande pression, par les règles de maximis minimis ...
l’on aura A = ma2 - δ la, m & l étant des coëfficiens constans, où il
n’entre que des puissances de n; cette force A sera suffisante pour soutenir
une masse.”
“Busque la mayor presión A para evitar que se deslice ... para el triángulo
de mayor presión, según las reglas de máximos y mínimos ... tendremos ,
siendo m & l coeficientes constantes, donde solo se ingresan potencias
de n; esta fuerza A será suficiente para soportar una masa.”
En la ecuación de Coulomb, a es la altura del muro de contención. 1/n es el
coeficiente de fricción. Los coeficientes l y m implican cohesión y
fricción. Coulomb anota que cuando la fricción y la cohesión se vuelven
cero, su ecuación da la presión del fluido.
Respecto de la adhesión (cohesión), Coulomb escribe en la sección X del
‘Essai’:
“Ainsi, il résulte que la différence entre la pression des fluides dont le
frottement & la cohésion sont nuls, y de ceux on quantités ne doivent
point être négligées, consiste en ce que dans les premiers, le côté ... du
vase qui les contient ne peut être soutenu que par une seule force, au lieu
que dans les autres, il y a une infinité de forces contenues entre les
limites A y A’, qui ne troubleront point l’état de repos.”
“Así, resulta que la diferencia entre la presión de los fluidos de los
cuales la fricción y la cohesión son nulas, y de esas cantidades no deben
despreciarse, consiste en que en los primeros, el costado ... del recipiente
que las contiene solo puede ser soportado por una sola fuerza, en lugar de
en las otras hay una infinidad de fuerzas contenidas entre los límites A y
A’, que no perturbarán el estado de reposo.”
Respecto del factor de seguridad de 1.25, Coulomb hace la siguiente
descripción en la Sección X del ‘Essai’:
“d’un quart en sus de celle qu’exige l’équilibre”
“M. le maréchal de Vauban, dans presque toutes les places qu’il a fait
construire, a donné 5 pieds de largeur au cordon, sur 1/5 de talud. Comme
les revêtements construits par cette homme célèbre, passent rarement 40
pieds, sa pratique se trouve dans ce cas assez d’accord avec notre dernière
formule. Il est vrai cependant que M. de Vauban ajoute des contreforts à ses
murs ; mais cette augmentation de solidité ne doit point être regardée comme
superflue dans les fortifications, dont les enveloppes ne doivent point être
culbutées par le premier coup de canon.”
“Un cuarto más de lo necesario para mantener el equilibrio”
“El señor le Maréchal de Vauban, en casi todos los lugares que había
construido, hizo la cresta de 5 pies de ancho, con una inclinación de 1/5 de
pendiente. Como los muros construidos por este hombre famoso rara vez
superan los 40 pies, su práctica en este caso es bastante consistente con
nuestra última fórmula. Es cierto, sin embargo, que M. de Vauban añade
contrafuertes a sus muros; pero este aumento de solidez no debe considerarse
superfluo en las fortificaciones, cuyos revestimientos no deben ser volcados
por el primer disparo”.
Coulomb dio un ejemplo del diseño de una muralla alta como la que construyó
en Martinica con un muro de mampostería que retuvo el suelo bien drenado.
Aunque el suelo estaba bien compactado, su diseño suponía que tenía cero
cohesión, y escribió palabras que el lector debería releer varias
veces:
“Si l’on suppose que le frottment soit égal à la pression, comme dans les
terres qui, abandonnées à elles-mêmes, prennent 45 degrés de talus ; si l’on
suppose l’adhérence nulle ; ce qui a lieu dans les terres nouvellment
remuées:”
"Si suponemos que el rozamiento es igual a la presión, como en terrenos que,
abandonados, toman 45 grados de pendiente; asumiendo adhesión cero; lo que
ocurre en las tierras recién alteradas:"
Las pruebas de adhesión y cohesión de Coulomb y su cálculo de la presión de tierra
Coulomb aprendió que la fuerza de los materiales de construcción implica
fricción y cohesión. Le enseñaron que la fricción interna de la tierra es
igual al ángulo de reposo de la tierra como una pendiente natural drenada y
que la cohesión es la resistencia que un cuerpo sólido ofrece a la
separación simple en dos partes, ya sea en tensión o en cizalla. No estaba
seguro de tal cohesión, e hizo e informó sus propias pruebas en muestras de
piedra caliza de dos pulgadas cuadradas de sección transversal. La falla de
tensión tomó una fuerza de 430 libras, y la falla de cortante tomó 440
libras. Hizo las pruebas varias veces y descubrió que la fuerza en cizalla
era casi siempre mayor que la fuerza en tensión. Lo que había aprendido en
la escuela no era cierto, pero la diferencia era pequeña. Consideró que era
seguro diseñar fortificaciones usando el valor de cohesión medido en una
prueba de tensión y el ángulo de fricción 𝜙d observado como el ángulo de
reposo de una pendiente drenada ‘a la izquierda’. También afirmó varias
veces una ‘primera ley de la mecánica de suelos’ que ‘el suelo recién
excavado no tiene cohesión’. Era evidente que la tierra suelta recién
colocada, cavada con picas, colocada en túneles e inclinada detrás de un
muro nuevo, no tendría resistencia a la tracción. Si bien su cálculo de la
presión de tierra todavía se usa en la actualidad, los ingenieros hacen una
elección diferente de las propiedades de resistencia del suelo, con la
esperanza de encontrar cohesión y fricción de la caja de corte adecuada o
pruebas triaxiales de muestras tomadas en la investigación de sitio.
El artículo de 1773 de Coulomb aceptó la fricción de Amontons como un
primer componente de la resistencia interna del suelo y la roca. Ocho años
después, en 1781 Coulomb informó posteriores pruebas de fricción con
diversos materiales deslizantes. Al darse cuenta de que la teoría de la
fricción de la aspereza no puede seguir aplicándose después de que las
primeras asperezas se hayan deslizado, consideró otras sugerencias para las
causas físicas de la resistencia al deslizamiento en el modelo del plano de
deslizamiento de la resistencia del suelo. En esa publicación posterior
(Théorie des Machines Simples p. 117), Coulomb cuestionó la fricción, la
cohesión y los componentes de entrabamiento, y escribió sobre la necesidad
de nuevas ideas de experimentos posteriores de la siguiente manera:
“La cause physique de la résistance opposée par le frottement au mouvement
des surfaces qui glissent l’une sur l’autre, ne peut être expliquée, ou que
par l’engrainage des aspérités des surfaces qui ne peuvant se dégager qu’en
se pliant, qu’en se rompant, qu’en s’élevant a` la sommité´ les unes des
autres; ou bien il faut supposer que les molécules des surfaces des deux
plans en contact contractent, par leur proximité´, une cohérence qu’il faut
vaincre pour produire le mouvement: l’expérience seule pourra nous décider
sur la réalité´ de ces différents causes.”
"La causa física de la fricción que se opone al deslizamiento de superficies
entre sí no puede explicarse por el compromiso de las asperezas
superficiales que no se desenganchan cuando se doblan o rompen, o cuando se
superponen entre sí, o quizás por las moléculas de las superficies planas.
en contacto ganando una coherencia que hay que superar para producir
movimiento: sólo la experimentación puede ayudarnos a determinar la realidad
de estas diferentes causas."
Los planos de ruptura a través de rocas intactas y los planos de
deslizamiento a través del suelo son ásperos y tienen asperezas.
Un libro de texto de física del siglo XVIII de Musschenbroek (Physicae
experimentales, et geometricae, de magnete, tuborum capillarium vitreorumque
speculorum attractione magnitudine terrae, cohaerentia corporum firmorum
dissertationes ut et ephemerides meteorologicae Ultrajectinae, 1729) (Figura
3) enseñó que el componente de fuerza de cohesión que es independiente de la
fuerza normal actúa efectivamente en un área de deslizamiento y depende del
área de deslizamiento, y que esta cohesión resiste la separación directa de
un cuerpo sólido en partes, con el mismo efecto causando tanto el esfuerzo
como la resistencia al corte de los sólidos. Esto no era obviamente cierto,
y necesitaba un experimento.
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Figura 3. Portada del libro de física de Petri van Musschenbroek de 1729 |
La Figura 4 presenta las pruebas de Coulomb que mostraron que la enseñanza
no es exactamente cierta a pesar de que los valores de resistencia eran lo
suficientemente cercanos para fines prácticos. Las pruebas de losas de
piedra se muestran en la placa I de la obra de Coulomb de 1773 (Fig. 1).
Para medir la cohesión en el esfuerzo, en su Fig. 1 tenía una losa de piedra
caliza con dos muescas cortadas, con un peso colgado de un lazo de cuerda;
se rompió por esfuerzo a través de la sección del cuello ef. Otras losas
fueron construidas en un muro. Su Fig. 2 muestra una losa corta con un gran
peso colgado de una soga alrededor de ella para causar falla por corte, y su
Fig. 3 muestra una losa más larga con un peso menor colgado de ella para
hacer que la superficie superior cerca del muro falle por el esfuerzo de
tensión. Sus datos de resistencia de la piedra caliza fueron que la losa
cuadrada con muescas de 1 pulgada de espesor con un cuello de 2 pulgadas de
ancho falló con una adherencia a la tracción de 215 lb/in2 y la losa corta
cargada con una fuerza dirigida a lo largo del plano de corte por una cuerda
que la rodeaba cerca del extremo sujeto falló con una cohesión de 220
lb/in2. Estas resistencias eran casi las mismas, pero la resistencia al
corte (cohesión) era generalmente un poco mayor que la resistencia a la
tensión directa (adhesión). Los resultados de su prueba para la piedra
caliza fueron repetibles; los resultados para el ladrillo no lo fueron.
Musschenbroek se equivocó: la resistencia a la tracción y al corte son
diferentes; la adhesión y la cohesión no son efectos físicos
idénticos.
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Figura 4. Placa I de Coulomb |
Las propiedades del suelo en el Ensayo de Coulomb
Coulomb comenzó su ensayo con proposiciones claras sobre fricción (citando
las pruebas de Amontons) y sobre cohesión (citando sus propios datos de
prueba). La ley de fricción de Amontons se puede escribir como R = μN para
la fuerza normal N y la fuerza tangencial R que son efectivas en una
interfaz entre cuerpos sólidos deslizantes, donde μ es una supuesta
constante material llamada coeficiente de fricción. El documento de Amontons
se refería a la fricción en las máquinas. En su tiempo, las observaciones
científicas de los movimientos de los planetas habían confirmado con
precisión los cálculos de la órbita de los planetas (mecánica en el espacio
sin fricción), pero los ingenieros fabricaron máquinas que tenían fricción.
Amontons descubrió que, para el deslizamiento de un patín de madera sobre
tierra blanda, la fuerza de resistencia R era aproximadamente 3/4 del peso N
sobre el patín, pero había mucha menos resistencia a la fricción en
cualquier superficie plana dura lubricada con aceite viejo; el coeficiente μ
= tan 𝜙’ cayó de 3/4 a 1/3. Para tales superficies planas lubricadas,
descubrió que este valor de bajo coeficiente de fricción no dependía de si
el material deslizante era madera, hierro, cobre o plomo. Explicó que solo
una superficie plana ideal es verdaderamente plana; las superficies reales
parecen planas, pero el mecanizado deja pequeñas asperezas. Él especuló que
el coeficiente de fricción depende de las asperezas que dejan los tipos de
herramientas que se utilizan en el mecanizado de superficies planas duras.
Su teoría de la aspereza era razonable si la fricción por deslizamiento no
dependía del material. Explicó el componente de fricción del siglo XVIII
(dependiente de la presión σ’ normal a la superficie del plano pero
independiente del área del plano). La entrada de energía por la fuerza R en
su desplazamiento de deslizamiento y = x tan 𝜙d se conserva en la salida de
energía a la fuerza N (esto difiere de la definición posterior de fricción
donde la energía se disipa en deslizamiento). Si esta teoría de la aspereza
se aplica para deslizarse a través de una pila de esferas (Figura 5), los
ángulos de contacto de aspereza locales de 𝜙d dan una dirección de
deslizamiento diferente del plano de deslizamiento y un coeficiente de
fricción de μ = tan 𝜙’. Los desplazamientos pueden ser tan pequeños que son
invisibles. Coulomb aprendió la teoría aceptada en Francia en el siglo
XVIII, que la resistencia R en el plano de deslizamiento en la Figura 6
tiene dos componentes: La fuerza de fricción debido a las asperezas es
independiente del área de la superficie de deslizamiento y es proporcional a
la presión normal a la superficie, y la fuerza debido a la cohesión es
proporcional al área de la superficie de deslizamiento y es independiente de
la presión sobre esa superficie.
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Figura 5. Plano de deslizamiento y dirección de
deslizamiento (Couplet, 1726) |
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Figura 6. Plano de deslizamiento en roca de Coulomb |
Con el profesor Bossut (1772) en Mézières, Coulomb estudió un libro de
texto de física de Musschenbroek (1729) y un libro de texto de Bélidor
(1737) que postuló (Figura 7) que las asperezas en un par de superficies de
deslizamiento son hemisferios lisos; calculó un valor de μ = 1/3 de la
geometría del ángulo de deslizamiento de los contactos hemisféricos. La
escuela Mézières fue cerrada por la Revolución Francesa, pero la misma
enseñanza continuó en la École Polytechnique en París. El profesor Navier en
la École Polytechnique de principios del siglo XIX, creó una edición anotada
de 1819 del libro de Bélidor, en la que escribió su propia nota de pie de
página sobre las asperezas de la siguiente manera:
“Los experimentos de Amontons sobre la fricción de los que habla Bélidor se
publicaron en las Memorias de la Academia Francesa de Ciencias (1699). Ese
autor concluye que la resistencia que proporciona la fricción es
independiente del tamaño del área de contacto, como se ha confirmado desde
entonces; que es más o menos lo mismo para madera, hierro, cobre, plomo,
etc., cuando estas diversas sustancias se lubrican con aceite viejo, y es
aproximadamente un tercio de la presión: más adelante mostraremos que este
resultado requiere algunas correcciones. No necesito decir si la suposición
de asperezas hemisféricas con la que Bélidor intenta explicar los datos de
Amontons merece atención, ni necesito demorarme más aquí para cargar estas
notas con comentarios inútiles sobre la geometría en la que descansa su
hipótesis, lo cual es bastante erróneo.”
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Figura 7. Deslizamiento sobre asperezas esféricas
(Bélidor, 1737) |
El joven escocés John Leslie (1766-1832), quien más tarde se convirtió en
profesor de física en la Universidad de Edimburgo; consideró la
transferencia de calor del Sol a través del espacio y la generación de calor
por fricción. Sabía de la teoría de la aspereza francesa y la consultó. En
su libro, Leslie (1804, pp. 299-305) expresó sus dudas al respecto de la
siguiente manera:
“Si las dos superficies que se frotan entre sí son rugosas y desiguales,
hay una pérdida necesaria de fuerza, ocasionada por el esmerilado y abrasión
de sus prominencias. Pero la fricción subsiste después de que las
superficies contiguas se hayan trabajado de la manera más regular y suave
posible. De hecho, el pulimento más elaborado no puede operar otro cambio
que disminuir el tamaño de las asperezas naturales. La superficie de un
cuerpo, al ser moldeada por su estructura interna, evidentemente debe estar
surcada, dentada o aserrada. Por lo tanto, la fricción se explica comúnmente
sobre el principio del plano inclinado, a partir del esfuerzo requerido para
hacer que el peso incumbente suba sobre una sucesión de eminencias. Pero
esta explicación, aunque se repita actualmente, es bastante insuficiente. La
masa que se arrastra no asciende continuamente: debe subir y bajar
alternativamente: porque cada prominencia superficial tendrá una cavidad
correspondiente; y dado que se supone que el límite de contacto es
horizontal, las elevaciones totales serán igualadas por sus depresiones
colaterales.”
Puede que Coulomb también haya tenido esta duda, pero según deduce
Schofield, la teoría de la fricción de la aspereza fue generalmente aceptada
en Francia cuando el mismo Navier la enseñó en 1819, objetando solo la
geometría de Bélidor. Cuando Bowden y Tabor (1973) escribieron su libro
sobre la fricción, citaron las críticas de Leslie, pero desarrollaron otra
teoría para la fricción deslizante de las superficies metálicas en las que
las uniones soldadas crecen entre las asperezas bajo carga. En su teoría de
la fricción, el trabajo se disipa debido al daño plástico en las uniones
soldadas. Argumentaron que el área total y la resistencia total de las
soldaduras locales es proporcional a la presión normal a la superficie, por
lo que para ellos la fricción por deslizamiento se debe a enlaces metálicos
con lo que Coulomb habría llamado coherencia. Su teoría del crecimiento de
la unión es aceptada hoy en la ingeniería mecánica, y ha sido validada por
experimentos en superficies metálicas. En su libro, Bowden y Tabor mostraron
el plano de deslizamiento del diente de sierra, pero no discutieron los
agregados de granos; escribieron que la crítica de Leslie a la teoría de la
aspereza
“... permanece sin respuesta. Por supuesto, se puede decir que el trabajo
se usa para arrastrar un cuerpo por una pendiente y cuando llega a la cima
cae con estruendo, doblando y abollando la superficie, de modo que todo el
trabajo realizado en él se pierde como trabajo de deformación durante el
impacto. Si adoptamos este punto de vista, nos alejamos mucho del modelo de
arrastrar hacia arriba la rugosidad. Realmente estamos hablando de un
mecanismo de deformación.”
Este pasaje sugiere que la energía de flexión elástica en deformaciones
transitorias se disipa en la descarga. Leslie previó un proceso de
deslizamiento constante sin dilatación en el que el espacio entre las
superficies de deslizamiento es constante. Con asperezas casi invisibles,
tal proceso comienza después de un desplazamiento muy pequeño. Las asperezas
idénticas de Bélidor están perfectamente en fase, pero si las asperezas son
muy pequeñas e irregulares, entonces se aplican cargas altas a asperezas
prominentes sucesivas con desviaciones elásticas locales sucesivas. Si la
energía almacenada en asperezas elásticas no se recupera en el deslizamiento
constante de Leslie, eso podría explicar lo que él llamó una pérdida de
fuerza. Coulomb escribió sobre las moléculas de las superficies planas en
contacto que ganaban coherencia, pero tal soldadura no podía explicar todos
los datos, por ejemplo, el deslizamiento de madera sobre madera. Si bien la
fricción, la cohesión y el entrabamiento (o enclavamiento) se consideraron
como posibles componentes de la resistencia al deslizamiento, Coulomb en
1781 escribió que “solo el experimento puede ayudarnos a decidir la realidad
de estas diferentes causas”. Coulomb ya no publicó más sobre fricción o
cohesión después de 1781, pero no podemos concluir que pensara que la
ecuación (7.1) se había establecido completamente mediante un experimento
científico. Coulomb había vivido y continuó trabajando durante una época de
revolución.
Coulomb tenía el rango ejército de Capitaine en Premier de la Première
Classe cuando fue elegido miembro de la Academia francesa de Ciencias en
1781. Él inventó y utilizó una balanza de torsión para experimentos sobre
las fuerzas magnéticas que fueron publicados por la Academia. Escribió siete
artículos sobre electricidad y magnetismo que se publicaron entre 1785 y
1791, describiendo sus propios experimentos y presentando el caso de una ley
del cuadrado inverso para la acción a una distancia entre cargas eléctricas
que era similar a la ley de gravitación de Newton. En sus 9 años de servicio
militar en Martinica, su salud había sido arruinada por la fiebre (lo mismo
sucedió con los ingenieros del siglo XX que construyeron el Canal de
Panamá). No resolvió el problema de la teoría de la aspereza de Amontons,
pero no sorprende que no haya escrito más sobre fricción y resistencia del
suelo. Su habilidad en mecánica experimental le había valido el
reconocimiento como lo que se llamaría un científico en el siglo XIX. En
París, la actividad revolucionaria aumentó. La Bastilla fue asaltada el 14
de julio de 1789. Coulomb renunció al ejército en 1790. El 4 de agosto de
1792, la Asamblea Legislativa votó por la abolición de todos los privilegios
y derechos feudales de la Iglesia y el Rey, y por la igualdad de todos en
Francia. Una mafia jacobina atacó el Palacio de las Tullerías y mató a los
guardias suizos. Los realistas fueron masacrados en las cárceles parisinas;
el peligro en las calles de París en septiembre de 1792 se describe en el
Cuento de dos ciudades de Charles Dickens y en La pimpinela escarlata de
Emmuska, baronesa Orczy. Cuando las academias fueron suprimidas, Coulomb fue
a su casa en Blois en 1793 para vivir fuera de París y hacer experimentos
científicos. Después de que comenzó la consolidación del poder en Francia
bajo Napoleón, Coulomb fue elegido en diciembre de 1795 para el Instituto de
Francia que reemplazó a la antigua Academia de Ciencias. En los últimos años
de Coulomb, entre 1802 y 1806, fue Inspector General de Educación bajo
Napoleón y participó activamente en la configuración del sistema de las
escuelas de liceo en toda Francia. Había declarado claramente sus
intenciones educativas 30 años antes:
“Espero que sea posible para mí dejar los principios que me han servido lo
suficientemente claros para que un constructor sin educación superior los
entienda y los siga.”
Geotechnique
En junio de 1948, en el prólogo del Volumen 1 de Géotechnique, Terzaghi
escribió que la publicación de la teoría de la presión de tierra de Coulomb
fue un comienzo brillante para la mecánica de suelos, pero que el número de
publicaciones sobre este tema de la mecánica de suelos estaba “totalmente
desproporcionado con respecto a su importancia práctica”, ya que el material
de relleno seco, limpio y sin cohesión rara vez se encuentra en la práctica.
Señaló que cuando los geólogos hicieron un inventario de los materiales que
se encontrarían en una excavación, no prestaron atención a factores como la
resistencia al corte, la permeabilidad y la compresibilidad, contrastando el
diseño estructural con materiales hechos por el hombre con propiedades bien
conocidas y la ingeniería del movimiento de tierras con cuerpos de suelo en
el que las propiedades del material varían de un punto a otro. Expresó su
esperanza de avances en una combinación de ingeniería geológica y mecánica
de suelos. La percepción clara de las incertidumbres involucradas en los
supuestos fundamentales y las observaciones inteligentemente planificadas y
ejecutadas concienzudamente durante la construcción son la base del éxito
geotécnico. Sintió que la teoría y las técnicas de prueba habían avanzado
mucho más allá de las necesidades prácticas inmediatas en los años de 1938 a
1948, por lo que en 1948 “un historial bien documentado debería tener tanto
peso como diez ingeniosas teorías y los resultados de las investigaciones de
laboratorio no deberían recibir demasiada atención”. Pero había preguntas
básicas por responder sobre qué significan palabras como fricción y cohesión
cuando se discute la resistencia del suelo, y Géotechnique tenía la
intención de incluir documentos sobre este aspecto teórico de la mecánica
del suelo, así como documentos sobre historias de casos.
El tratamiento de los componentes del vector de esfuerzos en los planos de
deslizamiento habría sido familiar para los ingenieros del siglo XVIII como
Coulomb. Todo cambió después de Cauchy (1789-1857). Los ingenieros de
finales del siglo XIX y XX aprendieron sobre los círculos de esfuerzos y
deformación. Para un estudiante que necesita familiarizarse con los
conceptos matemáticos de esfuerzo y deformación, un punto de partida es que
las propiedades no cambian cuando las muestras se mueven de un lugar a otro
y se recortan. Este es el principio detrás del muestreo de suelo y las
pruebas de laboratorio, y también está detrás del concepto de
deformación.
Amontons observó una fuerza de fricción deslizante independiente del área
de contacto del plano de deslizamiento, y solo dependiente de σ’, con un
coeficiente de fricción μ de aproximadamente un tercio para superficies bien
lubricadas. Formuló la teoría de la aspereza que Coulomb aprendió, del
profesor Bossut en la escuela de ingeniería Mézières y del libro de texto de
ingeniería de Bélidor. Esta teoría todavía se enseñaba en París en la École
Polytechnique en el siglo XIX utilizando la edición de Bélidor revisada por
Navier. Esta teoría de la aspereza del siglo XVIII solo puede aplicarse a la
resistencia a un movimiento inicial, no al deslizamiento constante. Coulomb
también aprendió del libro de texto de física de Musschenbroek que un
componente de fuerza debido a la cohesión o adhesión actúa cuando un cuerpo
sólido se separa en dos partes, ya sea en tensión o cizallamiento. Se
cuestionó estas teorías y en sus experimentos descubrió que estas teorías no
eran verdad. La resistencia intacta de la roca en la tensión dio un valor
aproximado seguro para la resistencia de la roca en la cizalla, pero como
diseñador asumió con prudencia que todo el suelo está recién alterado sin
cohesión. El material de la ranura en una superficie de deslizamiento puede
dilatarse y alcanzar resistencia y densidad de Estado Crítico con
desplazamientos de deslizamiento bastante pequeños.
Referencias
Schofield, A. N. (1998). The “Mohr-Coulomb” error. Cued/D-Soils/TR305
(1998).
Schofield, A. N. (2001). Re-appraisal of Terzaghi’s Soil Mechanics. A draft
of an invited Special Lecture at the International Society of Soil Mechanics
and Geotechnical Engineering Conference in Istanbul August 2001. Cambridge
University.
Schofield, A. N. (No date available). Terzaghi’s Pierre Loti. University of
Cambridge.
Schofield, A. (2005). Disturbed soil properties and geotechnical design.
First Edition. Thomas Telford Publishing.
https://es.m.wikipedia.org/wiki/Archivo:Pieter_van_Musschenbroek.jpeg
http://fortificationetmemoire.fr/que-cherchez-vous/dictionnaire/
http://www.cndp.fr/crdp-besancon/fileadmin/commun/Fichiers/arts_et_culture/Vauban-Chap2.pdf
Cita
Osorio, S. (2021). L'essai de 1773 sur la statique - 7a parte. Relatos de la Geotecnia. Blogger.com. geotecnia-sor2.blogspot.com. https://geotecnia-sor2.blogspot.com/2021/10/lessai-de-1773-sur-la-statique-7a-parte.html
Relatos de la Geotecnia
+ Apuntes de Geotecnia con Énfasis en Laderas
Ir a:
1 - Martinique, Antilles - France Février 1764 (Martinica, Antillas - Francia , febrero de 1764)
2 - Angoulême, province d'Angoumois - France 14 juin 1736 (Angoulême, provincia de Angumois - Francia, 14 de junio de 1736)
3 - Mézières, département des Ardennes - France 11 février 1760 (Mézières, departamento de Ardennes - Francia, 11 de febrero de 1760)
4 - Paris - France 10 mars 1773 (París - Francia, 10 de marzo de 1773)
5 - L'essai de 1773 sur la statique - 1a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 1a Parte)
6 - L'essai de 1773 sur la statique - 2a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 2a Parte)
7 - L'essai de 1773 sur la statique - 3a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 3a Parte)
8 - L'essai de 1773 sur la statique - 4a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 4a Parte)
9 - L'essai de 1773 sur la statique - 5a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 5a Parte)
10 - L'essai de 1773 sur la statique - 6a Parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 6a Parte)
12 - L'essai de 1773 sur la statique - 8a parte (La Memoria sobre Estática de 1773 - 8a Parte)
13 - La vie de Coulomb après l’Essai de 1773 (La vida de Coulomb posterior al 'Essai' de 1773)Apéndice A - Fuerte Bourbon (1765-1772)
Apéndice C - La Estática de las Siete Máquinas Simples
Apéndice D - La Statique (La Estática)
Apéndice E - Mécanique Classique (Mecánica Clásica)
Apéndice F - De la résistance des matériaux (De la Resistencia de Materiales)
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